## 問題の解答

## 問題の解答

1. 問題の内容

3. KANAGAWAの8文字の並べ方に関する問題。

4. 高校生5人、中学生4人の9人から何人かを選ぶ場合の数や、グループ分けの問題。

5. 図のような道で、PからQまでの最短経路の数を求める問題。

以下、それぞれの問題について解答します。

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3. KANAGAWAの8文字の並べ方**

(1) 1列に並べるとき、異なる並べ方

KANAGAWAの8文字には、Aが3つ、Nが2つ含まれています。よって、並べ方の総数は、同じものを含む順列の公式より、

$\frac{8!}{3!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 2 = 3360$

(2) 1列に並べるとき、両端にAがくる並べ方

両端にAを配置すると、残りの6文字(K, N, G, W, N, A)を並べることになります。

この6文字にはNが2つ含まれているので、並べ方は、

$\frac{6!}{2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

(3) 1列に並べるとき、Aが隣り合わない並べ方

まず、A以外の5文字(K, N, G, W, N)を並べます。これらは $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ 通り。

次に、この5文字の間の6つの隙間にAを3つ配置します。これは ${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

よって、並べ方の総数は、

$60 \times 20 = 1200$

(4) 1列に並べるとき、K, N, G, Wがこの順にある並べ方

まず、K, N, G, W以外の4文字(A, A, A, N)を並べる場所を8箇所から選びます。残りの4箇所にK, N, G, Wをこの順番に配置します。

K, N, G, W以外の4文字を並べる組み合わせは、${}_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ 通り。

そして、4文字(A, A, A, N)の並べ方は $\frac{4!}{3!} = 4$ 通り。

よって、並べ方の総数は、

$70 \times 4 = 280$

(5) 円形に並べるとき、Aすべてが隣り合う並べ方

Aを一つの塊として考えると、塊とK, N, G, W, Nの合計6個を円形に並べることになります。

円順列の公式より、並べ方は $(6-1)! = 5! = 120$ 通り。

さらに、Nが2つあるので、$\frac{120}{2} = 60$ 通り。

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3. 最終的な答え**

(1) 3360通り

(2) 360通り

(3) 1200通り

(4) 280通り

(5) 60通り

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4. 高校生と中学生の選び方**

(1) 9人から4人を選ぶとき

① 高校生2人, 中学生2人

高校生5人から2人を選ぶのは ${}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

中学生4人から2人を選ぶのは ${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

よって、選び方の総数は、

$10 \times 6 = 60$

② 少なくとも1人は中学生

全体の選び方(${}_9C_4$)から、高校生のみを選ぶ選び方(${}_5C_4$)を引けばよい。

${}_9C_4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

${}_5C_4 = \frac{5!}{4!1!} = 5$

よって、選び方の総数は、

$126 - 5 = 121$

③ 高校生を2人以上選ぶ

全体の選び方から、高校生が0人または1人となる選び方を引けばよい。

高校生0人：${}_4C_4 = 1$ 通り

高校生1人：${}_5C_1 \times {}_4C_3 = 5 \times 4 = 20$ 通り

全体の選び方：${}_9C_4 = 126$ 通り

よって、選び方の総数は、

$126 - 1 - 20 = 105$

④ ある特定の2人a, bがともに選ばれる

aとbが選ばれることは決定しているので、残りの2人を選ぶ。残りの7人から2人を選ぶので、

${}_7C_2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

(2) 9人を次のような組に分ける分け方

① A, Bの2組 (各組に1人以上入る)

9人からAに入れる人を選ぶ方法を考える。Aに入れる人数は1人から8人まで考えられる。

よって、

${}_9C_1 + {}_9C_2 + {}_9C_3 + {}_9C_4 + {}_9C_5 + {}_9C_6 + {}_9C_7 + {}_9C_8 = 2^9 - {}_9C_0 - {}_9C_9 = 512 - 1 - 1 = 510$

② 4人, 3人, 2人の3組

9人から4人を選び、残りの5人から3人を選び、最後に残った2人を2人の組に入れる。

${}_9C_4 \times {}_5C_3 \times {}_2C_2 = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = 126 \times 10 \times 1 = 1260$

③ 3人ずつの3組

9人から3人を選び、残りの6人から3人を選び、最後に残った3人を3人の組に入れる。ただし、組に区別がないので、3!で割る必要がある。

$\frac{{}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3}{3!} = \frac{\frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!}}{3 \times 2 \times 1} = \frac{84 \times 20 \times 1}{6} = 28 \times 10 = 280$

④ 2人, 2人, 5人の3組

9人から5人を選び、残りの4人から2人を選び、最後に残った2人を2人の組に入れる。ただし、2人の組が2つあるので、2!で割る必要がある。

$\frac{{}_9C_5 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2}{2!} = \frac{\frac{9!}{5!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!}}{2} = \frac{126 \times 6 \times 1}{2} = 126 \times 3 = 378$

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4. 最終的な答え**

(1) ① 60通り, ② 121通り, ③ 105通り, ④ 21通り

(2) ① 510通り, ② 1260通り, ③ 280通り, ④ 378通り

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5. PからQまでの最短経路**

(1) Rを通って行く

PからRまでの最短経路は、右に1回、上に2回進むので、${}_3C_1 = 3$ 通り。

RからQまでの最短経路は、右に3回、上に2回進むので、${}_5C_2 = 10$ 通り。

よって、PからRを通ってQまでの最短経路は、

$3 \times 10 = 30$

(2) ×印の箇所は通らないで行く

PからQまでのすべての最短経路は、右に4回、上に4回進むので、${}_8C_4 = 70$ 通り。

Pから×印を通ってQまでの最短経路は、

Pから×印：右に2回、上に1回なので、${}_3C_1 = 3$ 通り。

×印からQ：右に2回、上に3回なので、${}_5C_2 = 10$ 通り。

よって、Pから×印を通ってQまでの最短経路は、

$3 \times 10 = 30$ 通り。

PからQまでの経路から、×印を通る経路を引くと、×印を通らない経路が得られる。

したがって、$70 - 30 = 40$ 通り

(3) Rを通り、×印の箇所は通らないで行く

PからRまでの経路は3通り。

RからQまでの経路は10通り。

Rから×印を通ってQまでの経路は、Rから×印へは1通り、×印からQへは10通りなので、$1 \times 10 = 10$ 通り。

したがって、Rを通り、×印を通らない経路は、

Rを通る経路(30通り)からRを通って×印を通る経路(3 * 10 = 30通りの一部)を引けばよい。Rから×印を通ってQへ行く経路は、PからRへ行く経路によらず10通りである。よって、$30 - 3 * 1 = 30 - 3 * 1 * 10 = 3 * (10 - 1) = 3*9 = 27$通り

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5. 最終的な答え**

(1) 30通り

(2) 40通り

(3) 27通り