## 問題の内容

## 問題の内容

1. 1個のサイコロを3回続けて投げたときの確率に関する問題（(1)）。

2. 赤球5個と白球6個が入った袋から4個の球を同時に取り出すときの確率に関する問題（(2)）。

3. A, B, Cの3人がじゃんけんを1回するときの確率に関する問題（(3)）。

4. 1から13までの番号をつけた13枚のカードから1枚を取り出すときの確率に関する問題（(4)）。

5. AからHまでの8文字を横一列に並べるときの確率に関する問題（(5)）。

6. 当たりくじ4本を含む10本のくじからくじを引くときの確率に関する問題（(6)）。

7. ○×で答えるクイズが5題あるときに、硬貨を投げて答えを決めるときの確率に関する問題（(7)）。

## 解き方の手順と答え

**(1) 1個のサイコロを3回続けて投げるとき**

(a) 偶数の目、奇数の目、3の倍数の目がこの順に出る確率

* 1回目の偶数の目は、2, 4, 6の3通りなので確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。

* 2回目の奇数の目は、1, 3, 5の3通りなので確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。

* 3回目の3の倍数の目は、3, 6の2通りなので確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

* したがって、確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$。

(b) 3回目に初めて3の倍数が出る確率

* 1回目、2回目は3の倍数以外が出る。3の倍数以外は1, 2, 4, 5の4通りなので、確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。

* 3回目は3の倍数が出るので、確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

* したがって、確率は $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$。

(c) 出る目がすべて異なる確率

* 1回目の目は6通り。

* 2回目の目は1回目の目以外なので5通り。

* 3回目の目は1回目と2回目の目以外なので4通り。

* したがって、確率は $\frac{6}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{120}{216} = \frac{5}{9}$。

(d) 目の和が5になる確率

考えられる組み合わせは、(1, 1, 3), (1, 2, 2)とその並び替え。

(1, 1, 3)の並び替えは3通り。(1, 2, 2)の並び替えも3通り。

合計6通り。

したがって、確率は $\frac{6}{6 \times 6 \times 6} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$。

(e) 目の積が5の倍数になる確率

少なくとも1つは5が出れば良い。

余事象を考える。３回とも５が出ない確率は $\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{125}{216}$

したがって、目の積が５の倍数になる確率は、$1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$。

**(2) 赤球5個、白球6個の入った袋から、4個の球を同時に取り出すとき**

(a) 4個とも同じ色の球が出る確率

* 4個とも赤球の場合：$\frac{{5 \choose 4}}{{11 \choose 4}} = \frac{5}{330}$

* 4個とも白球の場合：$\frac{{6 \choose 4}}{{11 \choose 4}} = \frac{15}{330}$

* したがって、確率は $\frac{5}{330} + \frac{15}{330} = \frac{20}{330} = \frac{2}{33}$

(b) 赤球と白球がそれぞれ少なくとも1個出る確率

* これは「4個とも同じ色」の余事象なので、$1 - \frac{2}{33} = \frac{31}{33}$

**(3) A, B, Cの3人がじゃんけんを1回するとき**

(a) AとBの2人が勝つ確率

* AとBが勝つためには、AとBが同じ手を出し、Cが違う手を出す必要がある。

* AとBが出す手は3通り（グー、チョキ、パー）。

* CはAとBが出した手以外の手を出す必要があるので、1通り。

* したがって、確率は $\frac{3 \times 1}{3 \times 3 \times 3} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$。

(b) 1人だけが勝つ確率

* 1人だけが勝つためには、残りの2人が同じ手を出す必要がある。

* 勝つ人は3通り（A, B, C）。

* 残りの2人の出す手は3通り（グー、チョキ、パー）。

* したがって、確率は $\frac{3 \times 3}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$。

**(4) 1から13までの番号をつけた13枚のカードから1枚を取り出すとき**

(a) 取り出したカードの番号が、奇数かつ3の倍数である確率

* 奇数かつ3の倍数は、3, 9。2つの数字がある。

* したがって、確率は $\frac{2}{13}$

(b) 取り出したカードの番号が奇数であるとき、その番号が3の倍数である確率

* 奇数は1, 3, 5, 7, 9, 11, 13の7つ。

* このうち3の倍数は3と9の2つ。

* したがって、確率は $\frac{2}{7}$

**(5) A, B, C, D, E, F, G, Hの8文字を無作為に横1列に並べるとき**

(a) AとBが両端にある確率

* 両端の決め方は2通り（A--B, B--A）。

* 残りの6文字の並べ方は6!通り。

* 全体の並べ方は8!通り。

* したがって、確率は $\frac{2 \times 6!}{8!} = \frac{2 \times 6!}{8 \times 7 \times 6!} = \frac{2}{56} = \frac{1}{28}$。

(b) AはBより左で、BはCより左にある確率

* A, B, Cの順番は１通りに決まる。残りの5文字の順番は任意。

* 8文字の並べ方は8!通り。

* A, B, Cの位置の選び方は ${8 \choose 3}$通り。A, B, Cの並び方は1通り。残りの5文字の並び方は5!通り。

* したがって、確率は $\frac{{8 \choose 3} \times 5!}{8!} = \frac{\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times 5!}{8 \times 7 \times 6 \times 5!} = \frac{56}{336} = \frac{1}{6}$

* 別解：A, B, Cの並び方は3! = 6通りあり、そのうちAはBより左で、BはCより左にあるのは1通り。他の文字の並び順に影響はないので確率は$\frac{1}{6}$。

**(6) 当たりくじ4本を含む10本のくじがある**

(a) 同時に3本引くとき、2本だけ当たる確率

* 当たりくじ2本を選ぶ方法は、${4 \choose 2}$通り。

* はずれくじ1本を選ぶ方法は、${6 \choose 1}$通り。

* 3本引く方法は、${10 \choose 3}$通り。

* したがって、確率は $\frac{{4 \choose 2} \times {6 \choose 1}}{{10 \choose 3}} = \frac{6 \times 6}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$

(b) 1本ずつ2本引き、1本目のくじはもとに戻すとするとき、1本目がはずれ、2本目が当たる確率

* 1本目が外れる確率は $\frac{6}{10}$

* 1本目を戻すので、2本目が当たる確率は $\frac{4}{10}$

* したがって、確率は $\frac{6}{10} \times \frac{4}{10} = \frac{24}{100} = \frac{6}{25}$

(c) 1本ずつ2本引き、1本目のくじはもとに戻さないものとするとき、2本目が当たる確率

* 1本目が当たる確率は $\frac{4}{10}$。このとき、2本目が当たる確率は$\frac{3}{9}$。

* 1本目が外れる確率は $\frac{6}{10}$。このとき、2本目が当たる確率は$\frac{4}{9}$。

* したがって、確率は $\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} + \frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{12}{90} + \frac{24}{90} = \frac{36}{90} = \frac{2}{5}$

**(7) ○か×で答えるクイズが5題ある。1題ごとに硬貨を投げ、表が出れば○、裏が出れば×と答えるとき**

(a) すべて正解となる確率

* 各問題で正解する確率は $\frac{1}{2}$。

* 5題すべて正解する確率は $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$

(b) 3問以上正解となる確率

* 3問正解の確率：${5 \choose 3} (\frac{1}{2})^5 = \frac{10}{32}$

* 4問正解の確率：${5 \choose 4} (\frac{1}{2})^5 = \frac{5}{32}$

* 5問正解の確率：${5 \choose 5} (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$

* したがって、確率は $\frac{10}{32} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

## 最終的な答え

**(1)**

(a) $\frac{1}{12}$

(b) $\frac{4}{27}$

(c) $\frac{5}{9}$

(d) $\frac{1}{36}$

(e) $\frac{91}{216}$

**(2)**

(a) $\frac{2}{33}$

(b) $\frac{31}{33}$

**(3)**

(a) $\frac{1}{9}$

(b) $\frac{1}{3}$

**(4)**

(a) $\frac{2}{13}$

(b) $\frac{2}{7}$

**(5)**

(a) $\frac{1}{28}$

(b) $\frac{1}{6}$

**(6)**

(a) $\frac{3}{10}$

(b) $\frac{6}{25}$

(c) $\frac{2}{5}$

**(7)**

(a) $\frac{1}{32}$

(b) $\frac{1}{2}$