5人のハンドボール投げの記録 $28, a, 24, b, c$ が与えられています。 ここで、以下の条件が満たされています。 (ア) $24 < a < 28 < b < c$ (イ) 第3四分位数は33m (ウ) 平均値は29m (エ) 分散は14 このとき、$a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

5人のハンドボール投げの記録 $28, a, 24, b, c$ が与えられています。

ここで、以下の条件が満たされています。

(ア) $24 < a < 28 < b < c$

(イ) 第3四分位数は33m

(ウ) 平均値は29m

(エ) 分散は14

このとき、$a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、データを小さい順に並べ替えます。条件(ア)より、並び順は $24, a, 28, b, c$ となります。

次に、条件(イ)より、第3四分位数は $b$ であり、$b = 33$ であることがわかります。

条件(ウ)より、平均値は29mなので、

$\frac{24 + a + 28 + b + c}{5} = 29$

$24 + a + 28 + b + c = 145$

$a + b + c = 145 - 24 - 28 = 93$

$b = 33$ を代入すると、

$a + 33 + c = 93$

$a + c = 60$

条件(エ)より、分散は14なので、

$\frac{(24-29)^2 + (a-29)^2 + (28-29)^2 + (b-29)^2 + (c-29)^2}{5} = 14$

$(24-29)^2 + (a-29)^2 + (28-29)^2 + (b-29)^2 + (c-29)^2 = 70$

$(-5)^2 + (a-29)^2 + (-1)^2 + (33-29)^2 + (c-29)^2 = 70$

$25 + (a-29)^2 + 1 + 16 + (c-29)^2 = 70$

$(a-29)^2 + (c-29)^2 = 70 - 25 - 1 - 16 = 28$

ここで、$a + c = 60$ より、$c = 60 - a$ なので、

$(a-29)^2 + (60 - a - 29)^2 = 28$

$(a-29)^2 + (31 - a)^2 = 28$

$a^2 - 58a + 841 + a^2 - 62a + 961 = 28$

$2a^2 - 120a + 1802 = 28$

$2a^2 - 120a + 1774 = 0$

$a^2 - 60a + 887 = 0$

解の公式より、$a = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 4 \times 887}}{2} = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 3548}}{2} = \frac{60 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{60 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 30 \pm \sqrt{13}$

$a = 30 \pm \sqrt{13}$

$\sqrt{13} \approx 3.6$ であるから、$a \approx 30 \pm 3.6$

$a \approx 26.4$ または $33.6$

条件 $24 < a < 28$ より、$a = 30 - \sqrt{13} = 30 - \sqrt{13} \approx 26.4$

$c = 60 - a = 60 - (30 - \sqrt{13}) = 30 + \sqrt{13} \approx 33.6$

3. 最終的な答え

$a = 30 - \sqrt{13}$

$b = 33$

$c = 30 + \sqrt{13}$