## 数学の問題の解答

## 数学の問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた問題は以下の3つの小問から構成されています。

1. 6人の生徒を3人、2人、1人のグループに分ける方法の数、3人ずつの2つのグループに分ける方法の数、2人ずつの3つのグループに分ける方法の数をそれぞれ求める問題。

2. 5人の学生を2つの教室A,Bに配分する方法の総数、どちらか一方の教室に5人全員を配分する方法の数、そしてA,B両方の教室に少なくとも1人以上の学生を配分する方法の数を求める問題。

3. 数直線上の点Pに対し、サイコロを投げて1か2が出れば右へ2進み、それ以外が出れば左へ1進むとき、6回サイコロを投げて原点に戻る確率を求める問題。ただし、点Pは原点Oから出発するものとします。1または2の目が合計12回出たとき、原点に戻ります。

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2. 解き方の手順

#### 【1】グループ分けの問題

* **3人、2人、1人のグループ分け**

6人から3人を選ぶ組み合わせは$_{6}C_{3}$通り。残りの3人から2人を選ぶ組み合わせは$_{3}C_{2}$通り。最後に残った1人は自動的に決まるので$_{1}C_{1}=1$通り。

したがって、求める場合の数は、

$_{6}C_{3} \times _{3}C_{2} \times _{1}C_{1} = \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{2!1!} \times 1 = 20 \times 3 \times 1 = 60$通り

* **3人ずつの2つのグループ分け**

6人から3人を選ぶ組み合わせは$_{6}C_{3}$通り。残りの3人は自動的に決まります。ただし、グループの区別はないので、2!で割る必要があります。

したがって、求める場合の数は、

$\frac{_{6}C_{3}}{2!} = \frac{20}{2} = 10$通り

* **2人ずつの3つのグループ分け**

6人から2人を選ぶ組み合わせは$_{6}C_{2}$通り。残りの4人から2人を選ぶ組み合わせは$_{4}C_{2}$通り。最後に残った2人は自動的に決まります。グループの区別はないので、3!で割る必要があります。

したがって、求める場合の数は、

$\frac{_{6}C_{2} \times _{4}C_{2}}{3!} = \frac{\frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!}}{3!} = \frac{15 \times 6}{6} = 15$通り

#### 【2】部屋への配分

* **空室があっても良い場合の配分**

各学生は教室A,Bのどちらかを選ぶことができるので、5人の学生それぞれについて2通りの選択肢があります。したがって、求める場合の数は、$2^{5} = 32$通り

* **どちらかの教室に全員が入る場合の配分**

5人全員が教室Aに入る場合と、5人全員が教室Bに入る場合の2通り。

* **少なくとも1人が各教室に配分される場合**

これは、空室がある場合を除いた場合の数なので、$32 - 2 = 30$通り

#### 【3】確率の問題

* **原点に戻る条件**

サイコロを6回投げて原点に戻るためには、右へ進む回数（1か2の目が出る回数）を$x$、左へ進む回数（3,4,5,6の目が出る回数）を$y$とすると、

$2x - y = 0$　（原点に戻る条件）

$x + y = 6$　　（サイコロを投げる回数）

この2つの式を解くと、$3x = 6$より$x=2$、$y=4$となります。つまり、1か2の目が2回、3,4,5,6の目が4回出れば原点に戻れます。

* **確率の計算**

サイコロを1回投げて1か2の目が出る確率は$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。3,4,5,6の目が出る確率は$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。

6回サイコロを投げて1か2の目が2回、3,4,5,6の目が4回出る確率は、二項定理より、

$_{6}C_{2} \times (\frac{1}{3})^{2} \times (\frac{2}{3})^{4} = 15 \times \frac{1}{9} \times \frac{16}{81} = \frac{15 \times 16}{9 \times 81} = \frac{240}{729} = \frac{80}{243}$

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3. 最終的な答え

【1】

* 3人、2人、1人のグループに分ける方法は 60 通り。

* 3人ずつの2グループに分ける方法は 10 通り。

* 2人ずつの3グループに分ける方法は 15 通り。

【2】

* 5人を2つの教室に配分する方法は 32 通り。

* どちらか一方の教室に5人全てを配分する方法は 2 通り。

* A,Bどちらの教室にも少なくとも1人の学生を配分する方法は 30 通り。

【3】

* 原点に戻る確率は $\frac{80}{243}$。