(1) $h > 0$ かつ $n$ を3以上の整数とするとき、不等式 $(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$ が成り立つことを示す。 (2) $-1 < r < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} n^2 r^n = 0$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

(1) $h > 0$ かつ $n$ を3以上の整数とするとき、不等式 $(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$ が成り立つことを示す。

(2) $-1 < r < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} n^2 r^n = 0$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いて $(1+h)^n$ を展開し、必要な項を取り出すことで不等式を示す。

$(1+h)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}h^k$

ここで、$n$ は3以上の整数なので、k=0,1,2,3の項を取り出すと、

$(1+h)^n = \binom{n}{0}h^0 + \binom{n}{1}h^1 + \binom{n}{2}h^2 + \binom{n}{3}h^3 + \sum_{k=4}^{n} \binom{n}{k}h^k$

$(1+h)^n = 1 + nh + \frac{n(n-1)}{2}h^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}h^3 + \sum_{k=4}^{n} \binom{n}{k}h^k$

$h>0$ より $\sum_{k=4}^{n} \binom{n}{k}h^k > 0$ だから、

$(1+h)^n > \frac{n(n-1)(n-2)}{6}h^3$

よって、

$(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$

が成り立つ。

(2) $a_n = n^2 r^n$ とおく。$-1<r<1$ なので、$|r|<1$ である。

$|r| = \frac{1}{1+h}$ とおくと、$h>0$ である。

$|a_n| = n^2 |r|^n = \frac{n^2}{(1+h)^n}$ となる。

$(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$ を用いると、$n \geq 3$ において

$0 < |a_n| = \frac{n^2}{(1+h)^n} < \frac{6n^2}{n(n-1)(n-2)h^3} = \frac{6n}{(n-1)(n-2)h^3}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{6n}{(n-1)(n-2)h^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{6n}{(n^2 - 3n + 2)h^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{6/n}{(1 - 3/n + 2/n^2)h^3} = \frac{0}{h^3} = 0$

したがって、$\lim_{n \to \infty} |a_n| = 0$ となるので、$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} n^2 r^n = 0$ である。

3. 最終的な答え

(1) $(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$

(2) $\lim_{n \to \infty} n^2 r^n = 0$