与えられた2つの正方行列 $A$ と $B$ に対して、$A^{-1}$、$B^{-1}$、$(AB)^{-1}$ を計算する問題です。 $A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 4 & -3 & 7 \\ 0 & -6 & 2 \end{bmatrix}$ $B = \begin{bmatrix} -2 & 4 & -4 \\ 3 & -5 & 5 \\ -1 & -3 & 1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた2つの正方行列 $A$ と $B$ に対して、$A^{-1}$、$B^{-1}$、$(AB)^{-1}$ を計算する問題です。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 4 & -3 & 7 \\ 0 & -6 & 2 \end{bmatrix}$

$B = \begin{bmatrix} -2 & 4 & -4 \\ 3 & -5 & 5 \\ -1 & -3 & 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) $A^{-1}$ の計算

まず、$A$ の行列式を計算します。

$det(A) = 1(-3\cdot2 - 7\cdot(-6)) - 5(4\cdot2 - 7\cdot0) + 0(4\cdot(-6) - (-3)\cdot0) = 1(-6 + 42) - 5(8) = 36 - 40 = -4$

次に、$A$ の余因子行列を計算します。

$C_{11} = (-3)(2) - (7)(-6) = -6 + 42 = 36$

$C_{12} = -(4(2) - 7(0)) = -8$

$C_{13} = (4)(-6) - (-3)(0) = -24$

$C_{21} = -(5(2) - 0(-6)) = -10$

$C_{22} = (1)(2) - (0)(0) = 2$

$C_{23} = -(1(-6) - 5(0)) = 6$

$C_{31} = (5)(7) - (-3)(0) = 35$

$C_{32} = -(1(7) - 4(0)) = -7$

$C_{33} = (1)(-3) - (5)(4) = -3 - 20 = -23$

余因子行列は次のようになります。

$C = \begin{bmatrix} 36 & -8 & -24 \\ -10 & 2 & 6 \\ 35 & -7 & -23 \end{bmatrix}$

$A^{-1}$ は余因子行列の転置を$det(A)$で割ったものです。

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}C^T = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} 36 & -10 & 35 \\ -8 & 2 & -7 \\ -24 & 6 & -23 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9 & 5/2 & -35/4 \\ 2 & -1/2 & 7/4 \\ 6 & -3/2 & 23/4 \end{bmatrix}$

(2) $B^{-1}$ の計算

まず、$B$ の行列式を計算します。

$det(B) = -2((-5)(1) - (5)(-3)) - 4(3(1) - 5(-1)) + (-4)(3(-3) - (-5)(-1)) = -2(-5 + 15) - 4(3 + 5) - 4(-9 - 5) = -2(10) - 4(8) - 4(-14) = -20 - 32 + 56 = 4$

次に、$B$ の余因子行列を計算します。

$C_{11} = (-5)(1) - (5)(-3) = -5 + 15 = 10$

$C_{12} = -(3(1) - 5(-1)) = -(3+5) = -8$

$C_{13} = (3)(-3) - (-5)(-1) = -9 - 5 = -14$

$C_{21} = -(4(1) - (-4)(-3)) = -(4-12) = 8$

$C_{22} = (-2)(1) - (-4)(-1) = -2 - 4 = -6$

$C_{23} = -((-2)(-3) - 4(-1)) = -(6 + 4) = -10$

$C_{31} = (4)(5) - (-5)(-4) = 20 - 20 = 0$

$C_{32} = -((-2)(5) - (-4)(3)) = -(-10 + 12) = -2$

$C_{33} = (-2)(-5) - (4)(3) = 10 - 12 = -2$

余因子行列は次のようになります。

$C = \begin{bmatrix} 10 & -8 & -14 \\ 8 & -6 & -10 \\ 0 & -2 & -2 \end{bmatrix}$

$B^{-1}$ は余因子行列の転置を$det(B)$で割ったものです。

$B^{-1} = \frac{1}{det(B)}C^T = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 10 & 8 & 0 \\ -8 & -6 & -2 \\ -14 & -10 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5/2 & 2 & 0 \\ -2 & -3/2 & -1/2 \\ -7/2 & -5/2 & -1/2 \end{bmatrix}$

(3) $(AB)^{-1}$ の計算

$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$

$\begin{bmatrix} 5/2 & 2 & 0 \\ -2 & -3/2 & -1/2 \\ -7/2 & -5/2 & -1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -9 & 5/2 & -35/4 \\ 2 & -1/2 & 7/4 \\ 6 & -3/2 & 23/4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -18.25 & 5/4 & -35/2 \\ 14.5 & -5/4 & 29/4 \\ 24.25 & -5/4 & 149/8 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^{-1} = \begin{bmatrix} -9 & 5/2 & -35/4 \\ 2 & -1/2 & 7/4 \\ 6 & -3/2 & 23/4 \end{bmatrix}$

(2) $B^{-1} = \begin{bmatrix} 5/2 & 2 & 0 \\ -2 & -3/2 & -1/2 \\ -7/2 & -5/2 & -1/2 \end{bmatrix}$

(3) $(AB)^{-1} = \begin{bmatrix} -69/4 & 5/4 & -35/2 \\ 29/2 & -5/4 & 29/4 \\ 97/4 & -5/4 & 149/8 \end{bmatrix}$