(1) $h > 0$とし、$n$を3以上の整数とするとき、不等式$(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$が成り立つことを示せ。 (2) $-1 < r < 1$のとき、$ \lim_{n \to \infty} n^2r^n = 0$が成り立つことを示せ。

1. 問題の内容

(1) $h > 0$とし、$n$を3以上の整数とするとき、不等式$(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$が成り立つことを示せ。

(2) $-1 < r < 1$のとき、$\lim_{n \to \infty} n^2r^n = 0$が成り立つことを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いる。

$(1+h)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} h^k = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}h + \binom{n}{2}h^2 + \binom{n}{3}h^3 + \sum_{k=4}^{n} \binom{n}{k} h^k$

$(1+h)^n = 1 + nh + \frac{n(n-1)}{2}h^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}h^3 + \sum_{k=4}^{n} \binom{n}{k} h^k$

$n \ge 3$のとき、$(1+h)^n > \frac{n(n-1)(n-2)}{6}h^3$

したがって、$(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$ が成り立つ。

(2) (1)を利用する。$|r| < 1$なので、$\frac{1}{|r|} = 1 + h$とおくと、$h > 0$である。

(1)の結果より、$n \ge 3$のとき、

$(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$

$\left(\frac{1}{|r|}\right)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$

$\frac{1}{|r|^n} > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$

$0 < |r|^n < \frac{6}{n(n-1)(n-2)h^3}$

$0 < n^2|r|^n < \frac{6n^2}{n(n-1)(n-2)h^3} = \frac{6n}{(n-1)(n-2)h^3}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{6n}{(n-1)(n-2)h^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{6n}{n^2 - 3n + 2} \frac{1}{h^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{6/n}{1 - 3/n + 2/n^2} \frac{1}{h^3} = \frac{0}{1} \frac{1}{h^3} = 0$

したがって、$\lim_{n \to \infty} n^2|r|^n = 0$。

$|n^2r^n| = n^2|r|^n$なので、$\lim_{n \to \infty} n^2r^n = 0$。

3. 最終的な答え

(1) $(1+h)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3$ が成り立つ。

(2) $\lim_{n \to \infty} n^2r^n = 0$ が成り立つ。