$x$ は $x^2 + \frac{16}{x^2} = 9$ を満たす 2 より大きい実数とする。 $(x - \frac{4}{x})^2$ の値、$(x + \frac{4}{x})^2$ の値、そして $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x$ は $x^2 + \frac{16}{x^2} = 9$ を満たす 2 より大きい実数とする。

$(x - \frac{4}{x})^2$ の値、$(x + \frac{4}{x})^2$ の値、そして $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$(x - \frac{4}{x})^2$ を展開する。

$(x - \frac{4}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} + (\frac{4}{x})^2 = x^2 - 8 + \frac{16}{x^2}$.

$x^2 + \frac{16}{x^2} = 9$ を代入すると、$(x - \frac{4}{x})^2 = 9 - 8 = 1$.

次に、$(x + \frac{4}{x})^2$ を展開する。

$(x + \frac{4}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} + (\frac{4}{x})^2 = x^2 + 8 + \frac{16}{x^2}$.

$x^2 + \frac{16}{x^2} = 9$ を代入すると、$(x + \frac{4}{x})^2 = 9 + 8 = 17$.

$(x - \frac{4}{x})^2 = 1$ より、$x - \frac{4}{x} = \pm 1$.

$x - \frac{4}{x} = 1$ のとき、$x^2 - 4 = x$ より、$x^2 - x - 4 = 0$.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

$x > 2$ より、$x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$.

$x - \frac{4}{x} = -1$ のとき、$x^2 - 4 = -x$ より、$x^2 + x - 4 = 0$.

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

$x > 2$ を満たす解は存在しない。

したがって、$x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$.

3. 最終的な答え

$(x - \frac{4}{x})^2 = 1$

$(x + \frac{4}{x})^2 = 17$

$x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$