例1の結果を用いて、$\epsilon = 0.05$ および $\epsilon = 0.005$ のときの正の実数 $\delta$ の値をそれぞれ一つ定める問題です。さらに、一般的な $\epsilon$ に対して、どのように $\delta$ を定めれば良いかを問われています。ただし、例1の内容が不明なので、ここでは $|x| < 1$ のとき、$|x^2| < \epsilon$ となるような $\delta$ を定める問題だと仮定します。

1. 問題の内容

例1の結果を用いて、$\epsilon = 0.05$ および $\epsilon = 0.005$ のときの正の実数 $\delta$ の値をそれぞれ一つ定める問題です。さらに、一般的な $\epsilon$ に対して、どのように $\delta$ を定めれば良いかを問われています。ただし、例1の内容が不明なので、ここでは $|x| < 1$ のとき、$|x^2| < \epsilon$ となるような $\delta$ を定める問題だと仮定します。

2. 解き方の手順

$\epsilon = 0.05$ のとき、

$|x^2| < 0.05$

$|x| < \sqrt{0.05} \approx 0.2236$

したがって、$\delta = 0.2236$ とすれば良い。ただし$|x|<1$という条件があるので、$\delta = \min(1,\sqrt{0.05})=\sqrt{0.05} \approx 0.2236$とする。

$\epsilon = 0.005$ のとき、

$|x^2| < 0.005$

$|x| < \sqrt{0.005} \approx 0.0707$

したがって、$\delta = 0.0707$ とすれば良い。ただし$|x|<1$という条件があるので、$\delta = \min(1,\sqrt{0.005})=\sqrt{0.005} \approx 0.0707$とする。

一般に、$\epsilon > 0$ のとき、

$|x^2| < \epsilon$

$|x| < \sqrt{\epsilon}$

したがって、$\delta = \min(1, \sqrt{\epsilon})$ とすれば良い。

3. 最終的な答え

$\epsilon = 0.05$ のとき、$\delta = \sqrt{0.05} \approx 0.2236$

$\epsilon = 0.005$ のとき、$\delta = \sqrt{0.005} \approx 0.0707$

一般に $\epsilon > 0$ のとき、$\delta = \min(1, \sqrt{\epsilon})$