$y$は$x$に比例し、$z$は$x+2$に反比例する。$y=1$のとき$z=2$となり、$y=3$のとき$z=1$となる。$y=5$のときの$z$の値を求める。

1. 問題の内容

$y$は$x$に比例し、$z$は$x+2$に反比例する。$y=1$のとき$z=2$となり、$y=3$のとき$z=1$となる。$y=5$のときの$z$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$と$x$の比例関係を $y=ax$ と表す。

次に、$z$と$x+2$の反比例関係を $z = \frac{b}{x+2}$ と表す。

$y=1$のとき$z=2$なので、

$1=ax$ より $x = \frac{1}{a}$

$2 = \frac{b}{x+2}$ に $x = \frac{1}{a}$ を代入すると、$2 = \frac{b}{\frac{1}{a}+2}$ より、$2(\frac{1}{a} + 2) = b$ となるので、$b = \frac{2}{a} + 4$

$y=3$のとき$z=1$なので、

$3 = ax$ より $x = \frac{3}{a}$

$1 = \frac{b}{x+2}$ に $x = \frac{3}{a}$ を代入すると、$1 = \frac{b}{\frac{3}{a}+2}$ より、$\frac{3}{a} + 2 = b$

$b = \frac{2}{a} + 4$ と $b = \frac{3}{a} + 2$ より、

$\frac{2}{a} + 4 = \frac{3}{a} + 2$

$\frac{1}{a} = 2$

$a = \frac{1}{2}$

したがって、$b = \frac{3}{a} + 2 = \frac{3}{\frac{1}{2}} + 2 = 6+2 = 8$

$a = \frac{1}{2}$ と $b = 8$ がわかったので、$y = \frac{1}{2}x$ と $z = \frac{8}{x+2}$ がわかる。

$y=5$のとき、$5 = \frac{1}{2}x$ より、$x=10$

$z = \frac{8}{x+2} = \frac{8}{10+2} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$