定数 $a$ を含む連立一次方程式 \begin{align*} x_1 + x_2 + 2x_3 &= a \\ x_1 + ax_2 + (4-2a)x_3 &= a+1 \\ (a+1)x_1 + 2ax_2 + 4x_3 &= 4a-1 \end{align*} について、以下の問いに答える。 (1) この方程式が解を持つような $a$ の値を求める。 (2) (1) で求めた $a$ の値に対して、この方程式の解を求める。

1. 問題の内容

定数 $a$ を含む連立一次方程式

\begin{align*}

x_1 + x_2 + 2x_3 &= a \\

x_1 + ax_2 + (4-2a)x_3 &= a+1 \\

(a+1)x_1 + 2ax_2 + 4x_3 &= 4a-1

\end{align*}

について、以下の問いに答える。

(1) この方程式が解を持つような $a$ の値を求める。

(2) (1) で求めた $a$ の値に対して、この方程式の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 方程式が解を持つための条件を求める。連立一次方程式を行列で表現し、拡大係数行列の階数を計算する。解を持つためには、係数行列の階数と拡大係数行列の階数が一致する必要がある。

与えられた連立一次方程式を拡大係数行列で表すと、

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & a \\

1 & a & 4-2a & a+1 \\

a+1 & 2a & 4 & 4a-1

\end{pmatrix}

$$$$

となる。この行列を簡約化する。

まず、2行目から1行目を引くと

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & a \\

0 & a-1 & 2-2a & 1 \\

a+1 & 2a & 4 & 4a-1

\end{pmatrix}

$$$$

次に、3行目から1行目の $a+1$ 倍を引くと

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & a \\

0 & a-1 & 2-2a & 1 \\

0 & 2a-(a+1) & 4-2(a+1) & 4a-1-a(a+1)

\end{pmatrix}

$$$$

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & a \\

0 & a-1 & 2-2a & 1 \\

0 & a-1 & 2-2a & -a^2+3a-1

\end{pmatrix}

$$$$

3行目から2行目を引くと

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & a \\

0 & a-1 & 2-2a & 1 \\

0 & 0 & 0 & -a^2+3a-2

\end{pmatrix}

$$$$

解を持つためには、 $-a^2+3a-2 = 0$ が必要である。

$-a^2+3a-2 = -(a-1)(a-2) = 0$ より、$a=1, 2$ である。

(2) $a=1$ のとき、

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$$$

これは解を持たない。

$a=2$ のとき、

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & 2 \\

0 & 1 & -2 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$$$

1行目から2行目を引くと

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 4 & 1 \\

0 & 1 & -2 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$$$

$x_1+4x_3=1$, $x_2-2x_3=1$

$x_1 = 1-4x_3$, $x_2 = 1+2x_3$

$x_3 = k$ とすると、 $x_1 = 1-4k$, $x_2 = 1+2k$, $x_3 = k$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$

(2) $x_1 = 1-4k$, $x_2 = 1+2k$, $x_3 = k$ (ただし、$k$ は任意の実数)