与えられた関数のグラフの概形を描き、指定された点における接線の方程式を求める問題です。

はい、承知いたしました。画像にある問題について、それぞれ解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた関数のグラフの概形を描き、指定された点における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で接線の方程式を求めます。

(1) $y = 2x + 1$ (任意の点)

* 傾きは $y' = 2$ で一定です。

* 任意の点を $(t, 2t+1)$ とします。

* 接線の方程式は $y - (2t+1) = 2(x-t)$

* 整理すると $y = 2x + 1$

(2) $y = x^2 + 5x$ ($x = -3$ で)

* 導関数は $y' = 2x + 5$ です。

* $x = -3$ のとき、$y = (-3)^2 + 5(-3) = 9 - 15 = -6$

* $x = -3$ のとき、$y' = 2(-3) + 5 = -6 + 5 = -1$

* 接線の方程式は $y - (-6) = -1(x - (-3))$

* 整理すると $y + 6 = -x - 3$, $y = -x - 9$

(3) $y = x^3 - x + 1$ ($x = 1$ で)

* 導関数は $y' = 3x^2 - 1$ です。

* $x = 1$ のとき、$y = (1)^3 - 1 + 1 = 1$

* $x = 1$ のとき、$y' = 3(1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2$

* 接線の方程式は $y - 1 = 2(x - 1)$

* 整理すると $y - 1 = 2x - 2$, $y = 2x - 1$

(4) $y = \frac{2x}{x+1}$ ($x = 1$ で)

* 導関数は $y' = \frac{2(x+1) - 2x(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$ です。

* $x = 1$ のとき、$y = \frac{2(1)}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$

* $x = 1$ のとき、$y' = \frac{2}{(1+1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

* 接線の方程式は $y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1)$

* 整理すると $y - 1 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

(5) $y = \sqrt{x}$ ($x = 2$ で)

* 導関数は $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ です。

* $x = 2$ のとき、$y = \sqrt{2}$

* $x = 2$ のとき、$y' = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

* 接線の方程式は $y - \sqrt{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}(x - 2)$

* 整理すると $y = \frac{1}{2\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}x + \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x + 1$

(2) $y = -x - 9$

(3) $y = 2x - 1$

(4) $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

(5) $y = \frac{\sqrt{2}}{4}x + \frac{\sqrt{2}}{2}$