$r \neq 0$ のとき、$0 < |r| < 1$ かつ、$|r| = \frac{1}{1+h}$ ($h$ は正の定数) とおくとき、なぜ $|n^2r^n| = n^2|r|^n = \frac{n^2}{(1+h)^n}$ となるのか。

1. 問題の内容

$r \neq 0$ のとき、$0 < |r| < 1$ かつ、$|r| = \frac{1}{1+h}$ ($h$ は正の定数) とおくとき、なぜ $|n^2r^n| = n^2|r|^n = \frac{n^2}{(1+h)^n}$ となるのか。

2. 解き方の手順

まず、絶対値の性質 $|ab| = |a||b|$ を利用します。

与えられた式 $|n^2r^n|$ に対して、この性質を適用すると、

$|n^2r^n| = |n^2||r^n|$ となります。

次に、$n^2$ は常に正の値なので、$|n^2| = n^2$ です。

また、$|r^n| = |r|^n$ です。

したがって、

$|n^2r^n| = n^2|r|^n$ となります。

ここで、$|r| = \frac{1}{1+h}$ が与えられているので、これを代入すると、

$n^2|r|^n = n^2 (\frac{1}{1+h})^n = n^2 \frac{1}{(1+h)^n} = \frac{n^2}{(1+h)^n}$ となります。

3. 最終的な答え

したがって、$|n^2r^n| = n^2|r|^n = \frac{n^2}{(1+h)^n}$ が成り立ちます。