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直角三角形ABCがあり、AB=3cm、BC=4cm、∠ABC=90°です。 三角形ABCを辺ABを軸として1回転させてできる立体の体積をV、辺BCを軸として1回転させてできる立体の体積をV'とします。 VはV'の何倍であるか、選択肢の中から選んでください。

幾何学体積円錐回転体直角三角形
2025/7/30

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、AB=3cm、BC=4cm、∠ABC=90°です。
三角形ABCを辺ABを軸として1回転させてできる立体の体積をV、辺BCを軸として1回転させてできる立体の体積をV'とします。
VはV'の何倍であるか、選択肢の中から選んでください。

2. 解き方の手順

まず、円錐の体積の公式を確認します。
円錐の体積は、V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h で求められます。ここで、rr は底面の半径、hh は高さです。
次に、辺ABを軸として1回転させたときの立体の体積Vを計算します。
このとき、底面の半径はBC=4cm、高さはAB=3cmとなります。
したがって、V=13π(42)(3)=13π(16)(3)=16πV = \frac{1}{3} \pi (4^2) (3) = \frac{1}{3} \pi (16)(3) = 16\pi cm³です。
次に、辺BCを軸として1回転させたときの立体の体積V'を計算します。
このとき、底面の半径はAB=3cm、高さはBC=4cmとなります。
したがって、V′=13π(32)(4)=13π(9)(4)=12πV' = \frac{1}{3} \pi (3^2) (4) = \frac{1}{3} \pi (9)(4) = 12\pi cm³です。
最後に、VはV'の何倍かを計算します。
VV′=16π12π=1612=43\frac{V}{V'} = \frac{16\pi}{12\pi} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}

3. 最終的な答え

イ 43\frac{4}{3}

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