直線 $x+my-4=0$ が、円 $x^2+y^2=2$ と接するときの $m$ の値を求める。

1. 問題の内容

直線 $x+my-4=0$ が、円 $x^2+y^2=2$ と接するときの $m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

直線 $x+my-4=0$ と円 $x^2+y^2=2$ が接するということは、円の中心 $(0, 0)$ から直線までの距離が円の半径 $\sqrt{2}$ に等しいということである。

点と直線の距離の公式を用いると、

$$\frac{|0 + m\cdot0 - 4|}{\sqrt{1^2+m^2}} = \sqrt{2}$$

$$\frac{|-4|}{\sqrt{1+m^2}} = \sqrt{2}$$

$$\frac{4}{\sqrt{1+m^2}} = \sqrt{2}$$

両辺を2乗すると、

$$\frac{16}{1+m^2} = 2$$

$$16 = 2(1+m^2)$$

$$16 = 2+2m^2$$

$$14 = 2m^2$$

$$m^2 = 7$$

$$m = \pm \sqrt{7}$$

3. 最終的な答え

$m = \pm \sqrt{7}$