$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sin^2 x + 2\sin x \cos x - \cos^2 x$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sin^2 x + 2\sin x \cos x - \cos^2 x$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を三角関数の公式を用いて変形する。

\begin{align*} y &= \sin^2 x - \cos^2 x + 2\sin x \cos x \\ &= -(\cos^2 x - \sin^2 x) + \sin 2x \\ &= -\cos 2x + \sin 2x \end{align*}

さらに、$y$ を合成する。

\begin{align*} y &= \sin 2x - \cos 2x \\ &= \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x\right) \\ &= \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}\sin 2x - \sin \frac{\pi}{4}\cos 2x\right) \\ &= \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) \end{align*}

ここで、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ より、$0 \le 2x \le \pi$ である。したがって、$2x$ の範囲は $0 \le 2x \le \pi$。

$2x - \frac{\pi}{4}$ の範囲は $-\frac{\pi}{4} \le 2x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$ となる。

この範囲において、$\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$ の最小値は $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ であり、最大値は $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ である。

したがって、$y = \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$ の最小値は $\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -1$ であり、最大値は $\sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$ である。

3. 最終的な答え

$-1 \le y \le \sqrt{2}$