与えられた分数式 $\frac{2}{(x+1)(x-1)}$ を部分分数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた分数式 $\frac{2}{(x+1)(x-1)}$ を部分分数分解してください。

2. 解き方の手順

部分分数分解をするために、与式を次の形に分解できると仮定します。

$$\frac{2}{(x+1)(x-1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}$$

ここで、$A$ と $B$ は定数です。両辺に $(x+1)(x-1)$ をかけると、次のようになります。

$$2 = A(x-1) + B(x+1)$$

この式が任意の $x$ について成り立つためには、$x$ についての恒等式である必要があります。

$x=1$ を代入すると、

$$2 = A(1-1) + B(1+1) = 2B$$

したがって、$B = 1$となります。

$x=-1$ を代入すると、

$$2 = A(-1-1) + B(-1+1) = -2A$$

したがって、$A = -1$となります。

したがって、部分分数分解は次のようになります。

$$\frac{2}{(x+1)(x-1)} = \frac{-1}{x+1} + \frac{1}{x-1}$$

$$= \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$$