与えられた関数 $y = \sin 2x - \cos 2x$ を三角関数の合成を用いて変形せよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sin 2x - \cos 2x$ を三角関数の合成を用いて変形せよ。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行う。

$y = a \sin \theta + b \cos \theta$ を合成すると、 $y = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \alpha)$ となる。

ただし、$\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, $\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ である。

今回の問題では、$\sin 2x$ の係数が $1$ 、 $\cos 2x$ の係数が $-1$ なので、$a = 1$, $b = -1$, $\theta = 2x$ である。

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ となる。

したがって、合成後の式の係数は $\sqrt{2}$ となる。

次に、$\alpha$ を求める。

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \alpha = \frac{-1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\alpha$ は $\alpha = -\frac{\pi}{4}$ である。

以上より、 $y = \sin 2x - \cos 2x$ は $y = \sqrt{2} \sin(2x - \frac{\pi}{4})$ と合成できる。

3. 最終的な答え

$y = \sqrt{2} \sin(2x - \frac{\pi}{4})$