定積分 $\int_{-1}^{2} (2x-1)^2 dx + \int_{-1}^{2} (3+4x-2x^2) dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{2} (2x-1)^2 dx + \int_{-1}^{2} (3+4x-2x^2) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、2つの積分をまとめることができる。なぜなら、積分範囲が同じだからである。

$\int_{-1}^{2} (2x-1)^2 dx + \int_{-1}^{2} (3+4x-2x^2) dx = \int_{-1}^{2} [(2x-1)^2 + (3+4x-2x^2)] dx$

次に、被積分関数を展開して整理する。

$(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$

$(2x-1)^2 + (3+4x-2x^2) = 4x^2 - 4x + 1 + 3 + 4x - 2x^2 = 2x^2 + 4$

したがって、積分は次のようになる。

$\int_{-1}^{2} (2x^2 + 4) dx$

不定積分を計算する。

$\int (2x^2 + 4) dx = \frac{2}{3}x^3 + 4x + C$

定積分を計算する。

$\int_{-1}^{2} (2x^2 + 4) dx = \left[\frac{2}{3}x^3 + 4x\right]_{-1}^{2}$

$= \left(\frac{2}{3}(2)^3 + 4(2)\right) - \left(\frac{2}{3}(-1)^3 + 4(-1)\right)$

$= \left(\frac{2}{3}(8) + 8\right) - \left(\frac{2}{3}(-1) - 4\right)$

$= \frac{16}{3} + 8 + \frac{2}{3} + 4$

$= \frac{18}{3} + 12$

$= 6 + 12$

$= 18$

3. 最終的な答え

18