$\sqrt[4]{32}$, $\sqrt[3]{16}$, $\sqrt{8}$ の3つの数の大小を不等号を用いて表します。

1. 問題の内容

$\sqrt[4]{32}$, $\sqrt[3]{16}$, $\sqrt{8}$ の3つの数の大小を不等号を用いて表します。

2. 解き方の手順

それぞれの数を同じ指数を持つ累乗根の形に変形して比較します。

まず、3つの数値をそれぞれ指数を用いて表現します。

$\sqrt[4]{32} = 32^{\frac{1}{4}} = (2^5)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{5}{4}}$

$\sqrt[3]{16} = 16^{\frac{1}{3}} = (2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$

$\sqrt{8} = 8^{\frac{1}{2}} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$

次に、指数の分母を揃えます。4, 3, 2 の最小公倍数は12なので、指数を12で通分します。

$2^{\frac{5}{4}} = 2^{\frac{15}{12}}$

$2^{\frac{4}{3}} = 2^{\frac{16}{12}}$

$2^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{18}{12}}$

それぞれの数を12乗根で表すと以下のようになります。

$\sqrt[12]{2^{15}}$, $\sqrt[12]{2^{16}}$, $\sqrt[12]{2^{18}}$

$2^{15} < 2^{16} < 2^{18}$ であるから、

$\sqrt[12]{2^{15}} < \sqrt[12]{2^{16}} < \sqrt[12]{2^{18}}$ が成り立ちます。

したがって、$\sqrt[4]{32} < \sqrt[3]{16} < \sqrt{8}$となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt[4]{32} < \sqrt[3]{16} < \sqrt{8}$