関数 $f(x) = \frac{2x+a}{x+3}$ の逆関数が $f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+a}{x+3}$ の逆関数が $f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の逆関数を求め、与えられた逆関数 $f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ と比較することで、$a$ と $b$ の値を求めます。

$f(x) = y$ とおくと、$y = \frac{2x+a}{x+3}$ となります。これを $x$ について解きます。

$y(x+3) = 2x + a$

$yx + 3y = 2x + a$

$yx - 2x = a - 3y$

$x(y - 2) = a - 3y$

$x = \frac{a - 3y}{y - 2}$

したがって、$f^{-1}(y) = \frac{a - 3y}{y - 2}$ となります。$y$ を $x$ に書き換えると、

$f^{-1}(x) = \frac{a - 3x}{x - 2} = \frac{-3x+a}{x-2}$

与えられた逆関数は $f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ です。

$f^{-1}(x)$の分子を $-1$ 倍すると

$f^{-1}(x) = \frac{-3x-4}{-bx-2}$

$f^{-1}(x) = \frac{a - 3x}{x - 2}$ と $f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ を比較します。

$f^{-1}(x) = \frac{-3x+a}{x - 2}$を$f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$の形にするために、$f^{-1}(x) = \frac{-3x+a}{x - 2}$の分子と分母に$-1$をかけます。

$f^{-1}(x) = \frac{3x-a}{-x + 2}$

したがって、$f^{-1}(x) = \frac{3x-a}{-x + 2}$ と $f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ を比較すると、

$b=-1$

$-a = 4$

よって、 $a = -4$

そして、$b = -1$となります。

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = -1$