実数 $a$ を定数とする。2つの2次関数 $f(x) = x^2 + 2(a+1)x - a^2 + a + 3$ と $g(x) = -x^2 - 2ax + 3a + 2$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(1) > g(1)$ となるような $a$ の値の範囲を求める。 (2) $f(2) = g(2) + 6$ となるような $a$ の値を求める。 (3) $C_1: y = f(x)$ の頂点の $y$ 座標と $C_2: y = g(x)$ の頂点の $y$ 座標を求める。 (4) 全ての実数 $x$ に対して $f(x) > g(x)$ となるような $a$ の値の範囲を求める。 (5) 全ての実数 $x, x'$ に対して $f(x) > g(x')$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とする。2つの2次関数 $f(x) = x^2 + 2(a+1)x - a^2 + a + 3$ と $g(x) = -x^2 - 2ax + 3a + 2$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(1) > g(1)$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

(2) $f(2) = g(2) + 6$ となるような $a$ の値を求める。

(3) $C_1: y = f(x)$ の頂点の $y$ 座標と $C_2: y = g(x)$ の頂点の $y$ 座標を求める。

(4) 全ての実数 $x$ に対して $f(x) > g(x)$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

(5) 全ての実数 $x, x'$ に対して $f(x) > g(x')$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$f(1) = 1 + 2(a+1) - a^2 + a + 3 = 1 + 2a + 2 - a^2 + a + 3 = -a^2 + 3a + 6$

$g(1) = -1 - 2a + 3a + 2 = a + 1$

$f(1) > g(1)$ より、

$-a^2 + 3a + 6 > a + 1$

$-a^2 + 2a + 5 > 0$

$a^2 - 2a - 5 < 0$

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$

よって $1 - \sqrt{6} < a < 1 + \sqrt{6}$

(2)

$f(2) = 4 + 4(a+1) - a^2 + a + 3 = 4 + 4a + 4 - a^2 + a + 3 = -a^2 + 5a + 11$

$g(2) = -4 - 4a + 3a + 2 = -a - 2$

$f(2) = g(2) + 6$ より、

$-a^2 + 5a + 11 = -a - 2 + 6 = -a + 4$

$-a^2 + 6a + 7 = 0$

$a^2 - 6a - 7 = 0$

$(a - 7)(a + 1) = 0$

$a = 7, -1$

(3)

$f(x) = x^2 + 2(a+1)x - a^2 + a + 3 = (x + a + 1)^2 - (a+1)^2 - a^2 + a + 3 = (x + a + 1)^2 - a^2 - 2a - 1 - a^2 + a + 3 = (x + a + 1)^2 - 2a^2 - a + 2$

$C_1$ の頂点の $y$ 座標は $-2a^2 - a + 2$

$g(x) = -x^2 - 2ax + 3a + 2 = -(x^2 + 2ax) + 3a + 2 = -(x + a)^2 + a^2 + 3a + 2$

$C_2$ の頂点の $y$ 座標は $a^2 + 3a + 2$

(4)

全ての実数 $x$ に対して $f(x) > g(x)$

$f(x) - g(x) = x^2 + 2(a+1)x - a^2 + a + 3 - (-x^2 - 2ax + 3a + 2) = 2x^2 + (2a+2+2a)x - a^2 + a + 3 - 3a - 2 = 2x^2 + (4a+2)x - a^2 - 2a + 1 > 0$

判別式 $D < 0$

$D = (4a+2)^2 - 4(2)(-a^2 - 2a + 1) = 16a^2 + 16a + 4 + 8a^2 + 16a - 8 = 24a^2 + 32a - 4 < 0$

$6a^2 + 8a - 1 < 0$

$a = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 24}}{12} = \frac{-8 \pm \sqrt{88}}{12} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{22}}{12} = \frac{-4 \pm \sqrt{22}}{6}$

$\frac{-4 - \sqrt{22}}{6} < a < \frac{-4 + \sqrt{22}}{6}$

(5)

全ての実数 $x, x'$ に対して $f(x) > g(x')$

$f(x)$ の最小値 > $g(x')$ の最大値

$f(x)$ の最小値は $-2a^2 - a + 2$

$g(x)$ の最大値は $a^2 + 3a + 2$

$-2a^2 - a + 2 > a^2 + 3a + 2$

$-3a^2 - 4a > 0$

$3a^2 + 4a < 0$

$a(3a + 4) < 0$

$-\frac{4}{3} < a < 0$

3. 最終的な答え

(1) $1 - \sqrt{6} < a < 1 + \sqrt{6}$

(2) $a = -1, 7$

(3) $C_1$ の頂点のy座標: $-2a^2 - a + 2$, $C_2$ の頂点のy座標: $a^2 + 3a + 2$

(4) $\frac{-4 - \sqrt{22}}{6} < a < \frac{-4 + \sqrt{22}}{6}$

(5) $-\frac{4}{3} < a < 0$