関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(5) = 4$、 $f^{-1}(-5) = -1$ のとき、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(5) = 4$、 $f^{-1}(-5) = -1$ のとき、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

逆関数の性質から、$f(4) = 5$、 $f(-1) = -5$ となります。これらを用いて、以下の連立方程式を立てます。

$4a + b = 5$

$-1a + b = -5$

上の式から下の式を引くと、

$5a = 10$

$a = 2$

$a = 2$ を $4a + b = 5$ に代入すると、

$4(2) + b = 5$

$8 + b = 5$

$b = -3$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -3$