関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x+3}$ と $g(x) = \frac{-3x+4}{x-2}$ が与えられています。合成関数 $(f \circ g)(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x+3}$ と $g(x) = \frac{-3x+4}{x-2}$ が与えられています。合成関数 $(f \circ g)(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

合成関数 $(f \circ g)(x)$ は $f(g(x))$ で定義されます。つまり、$f(x)$ の $x$ に $g(x)$ を代入します。

まず、$g(x)$ を $f(x)$ に代入します。

$f(g(x)) = f\left(\frac{-3x+4}{x-2}\right) = \frac{2\left(\frac{-3x+4}{x-2}\right)+1}{\left(\frac{-3x+4}{x-2}\right)+3}$

次に、分子と分母をそれぞれ計算します。

分子：

$2\left(\frac{-3x+4}{x-2}\right)+1 = \frac{2(-3x+4)}{x-2} + \frac{x-2}{x-2} = \frac{-6x+8+x-2}{x-2} = \frac{-5x+6}{x-2}$

分母：

$\frac{-3x+4}{x-2}+3 = \frac{-3x+4}{x-2} + \frac{3(x-2)}{x-2} = \frac{-3x+4+3x-6}{x-2} = \frac{-2}{x-2}$

したがって、

$f(g(x)) = \frac{\frac{-5x+6}{x-2}}{\frac{-2}{x-2}}$

分数を整理します。

$f(g(x)) = \frac{-5x+6}{x-2} \cdot \frac{x-2}{-2} = \frac{-5x+6}{-2} = \frac{5x-6}{2}$

3. 最終的な答え

$(f \circ g)(x) = \frac{5x-6}{2}$