関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x+3}$ に対して、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求めよ。ただし、関数 $g(x)$ は与えられておらず、$(f \circ g)(x) = \frac{1}{5}(5x-6)$ であることがわかっている。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x+3}$ に対して、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求めよ。ただし、関数 $g(x)$ は与えられておらず、$(f \circ g)(x) = \frac{1}{5}(5x-6)$ であることがわかっている。

2. 解き方の手順

まず、$(f \circ g)(x)$ について考えます。これは $f(g(x))$ を意味します。問題文より、

$f(g(x)) = \frac{1}{5}(5x-6)$

$f(x) = \frac{2x+1}{x+3}$ であることを利用すると、

$\frac{2g(x)+1}{g(x)+3} = x - \frac{6}{5}$

となります。これを $g(x)$ について解きます。

まず両辺に $g(x)+3$ をかけると、

$2g(x)+1 = (x-\frac{6}{5})(g(x)+3)$

$2g(x)+1 = xg(x) + 3x - \frac{6}{5}g(x) - \frac{18}{5}$

$2g(x) + \frac{6}{5}g(x) - xg(x) = 3x - \frac{18}{5} - 1$

$\frac{16}{5}g(x) - xg(x) = 3x - \frac{23}{5}$

$(\frac{16}{5} - x)g(x) = 3x - \frac{23}{5}$

$g(x) = \frac{3x - \frac{23}{5}}{\frac{16}{5} - x} = \frac{15x - 23}{16-5x}$

次に、$(g \circ f)(x)$ を求めます。これは $g(f(x))$ を意味します。

$g(f(x)) = g(\frac{2x+1}{x+3})$

$g(x) = \frac{15x - 23}{16-5x}$ に $x$ の代わりに $\frac{2x+1}{x+3}$ を代入します。

$g(f(x)) = \frac{15(\frac{2x+1}{x+3}) - 23}{16 - 5(\frac{2x+1}{x+3})}$

$= \frac{15(2x+1) - 23(x+3)}{16(x+3) - 5(2x+1)}$

$= \frac{30x+15-23x-69}{16x+48-10x-5}$

$= \frac{7x-54}{6x+43}$

3. 最終的な答え

$(g \circ f)(x) = \frac{7x-54}{6x+43}$

$(f \circ g)(x) = \frac{1}{5}(5x-6)$