定積分 $\int_{-3}^{1} (2x+1)(x-3) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-3}^{1} (2x+1)(x-3) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(2x+1)(x-3) = 2x^2 -6x + x - 3 = 2x^2 - 5x - 3$

次に、この関数を積分します。

$\int (2x^2 - 5x - 3) \, dx = \frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 3x + C$

定積分を計算するために、積分の上限と下限を代入します。

$\int_{-3}^{1} (2x^2 - 5x - 3) \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 3x \right]_{-3}^{1}$

$=\left( \frac{2}{3}(1)^3 - \frac{5}{2}(1)^2 - 3(1) \right) - \left( \frac{2}{3}(-3)^3 - \frac{5}{2}(-3)^2 - 3(-3) \right)$

$=\left( \frac{2}{3} - \frac{5}{2} - 3 \right) - \left( \frac{2}{3}(-27) - \frac{5}{2}(9) + 9 \right)$

$=\left( \frac{4}{6} - \frac{15}{6} - \frac{18}{6} \right) - \left( -18 - \frac{45}{2} + 9 \right)$

$=\left( \frac{-29}{6} \right) - \left( -9 - \frac{45}{2} \right)$

$= -\frac{29}{6} - \left( -\frac{18}{2} - \frac{45}{2} \right)$

$= -\frac{29}{6} - \left( -\frac{63}{2} \right)$

$= -\frac{29}{6} + \frac{63}{2}$

$= -\frac{29}{6} + \frac{189}{6}$

$= \frac{160}{6}$

$= \frac{80}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{80}{3}$