$\tan \theta = \sqrt{3} - 2$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\tan \theta = \sqrt{3} - 2$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係を利用する。

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ が成り立つ。

与えられた $\tan \theta = \sqrt{3} - 2$ を上記の式に代入する。

$1 + (\sqrt{3} - 2)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$(\sqrt{3} - 2)^2 = 3 - 4\sqrt{3} + 4 = 7 - 4\sqrt{3}$

したがって、

$1 + 7 - 4\sqrt{3} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$8 - 4\sqrt{3} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{8 - 4\sqrt{3}} = \frac{1}{4(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4(4 - 3)} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta$

$\sin \theta = (\sqrt{3} - 2)\cos \theta$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ のとき、

$\sin \theta = (\sqrt{3} - 2) \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} = \frac{(\sqrt{3} - 2)\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

$\cos \theta = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ のとき、

$\sin \theta = -(\sqrt{3} - 2) \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} = \frac{(2 - \sqrt{3})\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

$\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ と変形できるので

$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ となる。

$\cos \theta = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$のとき、

$\sin \theta = (\sqrt{3} - 2) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

$\cos \theta = - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$のとき、

$\sin \theta = -( \sqrt{3} - 2) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

または

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$, $\sin \theta = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$