関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x+3}$ と $g(x) = \frac{-3x+4}{x-2}$ が与えられたとき、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x+3}$ と $g(x) = \frac{-3x+4}{x-2}$ が与えられたとき、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) $(g \circ f)(x)$ を求める。

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ であるから、$g(x)$ の $x$ に $f(x)$ を代入する。

$g(f(x)) = \frac{-3f(x)+4}{f(x)-2}$

$f(x) = \frac{2x+1}{x+3}$ を代入する。

$g(f(x)) = \frac{-3(\frac{2x+1}{x+3})+4}{\frac{2x+1}{x+3}-2}$

分母分子に $(x+3)$ をかける。

$g(f(x)) = \frac{-3(2x+1)+4(x+3)}{2x+1-2(x+3)}$

$g(f(x)) = \frac{-6x-3+4x+12}{2x+1-2x-6}$

$g(f(x)) = \frac{-2x+9}{-5}$

$g(f(x)) = \frac{2x-9}{5}$

(2) $(f \circ g)(x)$ を求める。

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ であるから、$f(x)$ の $x$ に $g(x)$ を代入する。

$f(g(x)) = \frac{2g(x)+1}{g(x)+3}$

$g(x) = \frac{-3x+4}{x-2}$ を代入する。

$f(g(x)) = \frac{2(\frac{-3x+4}{x-2})+1}{\frac{-3x+4}{x-2}+3}$

分母分子に $(x-2)$ をかける。

$f(g(x)) = \frac{2(-3x+4)+1(x-2)}{-3x+4+3(x-2)}$

$f(g(x)) = \frac{-6x+8+x-2}{-3x+4+3x-6}$

$f(g(x)) = \frac{-5x+6}{-2}$

$f(g(x)) = \frac{5x-6}{2}$

3. 最終的な答え

$(g \circ f)(x) = \frac{2x-9}{5}$

$(f \circ g)(x) = \frac{5x-6}{2}$