$f(x) = \frac{ax-4}{x+3}$、 $g(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ について、合成関数 $(g \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a$, $b$ の値を求める。ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ かつ $b \neq \frac{3}{2}$ とする。

1. 問題の内容

$f(x) = \frac{ax-4}{x+3}$、 $g(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ について、合成関数 $(g \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a$, $b$ の値を求める。ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ かつ $b \neq \frac{3}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

まず、合成関数 $g(f(x))$ を計算します。

$g(f(x)) = g\left(\frac{ax-4}{x+3}\right) = \frac{3\left(\frac{ax-4}{x+3}\right)+4}{b\left(\frac{ax-4}{x+3}\right)+2}$

次に、この式を簡略化します。

$g(f(x)) = \frac{3(ax-4)+4(x+3)}{b(ax-4)+2(x+3)} = \frac{3ax-12+4x+12}{abx-4b+2x+6} = \frac{(3a+4)x}{(ab+2)x-4b+6}$

条件 $(g \circ f)(x) = x$ より、

$\frac{(3a+4)x}{(ab+2)x-4b+6} = x$

この式が全ての $x$ に対して成り立つためには、次の条件が必要です。

\begin{enumerate}

\item 分母は $(ab+2)x-4b+6 = (3a+4)$ でなければならない。

\item $-4b+6 = 0$ かつ $ab+2=0$ でなければならない。

\item $3a+4=1$ ではないといけない

\end{enumerate}

まず、$-4b+6 = 0$ より、

$4b = 6$

$b = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

しかし、$b \neq \frac{3}{2}$ という条件があるため、この解は不適です。

条件 $(g \circ f)(x) = x$ を満たすためには、

$\frac{(3a+4)x}{(ab+2)x-4b+6} = x$

$(3a+4)x = x((ab+2)x-4b+6)$

$(3a+4)x = (ab+2)x^2 + (-4b+6)x$

この式が全ての $x$ について成立するには、$x^2$ の係数が $0$ でなければならないので、$ab+2 = 0$。

また、 $x$ の係数は $3a+4 = -4b+6$ でなければならない。

したがって、

$ab = -2$

$3a+4 = -4b+6$

$3a+4b = 2$

$a = -\frac{2}{b}$ より、

$3\left(-\frac{2}{b}\right) + 4b = 2$

$-\frac{6}{b} + 4b = 2$

両辺に $b$ をかけると、

$-6 + 4b^2 = 2b$

$4b^2 - 2b - 6 = 0$

$2b^2 - b - 3 = 0$

$(2b-3)(b+1) = 0$

$b = \frac{3}{2}$ または $b = -1$

条件 $b \neq \frac{3}{2}$ より、$b = -1$

$a = -\frac{2}{b} = -\frac{2}{-1} = 2$

3. 最終的な答え

$a=2$, $b=-1$