関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(f(x))$ を計算します。

$f(f(x)) = f(\frac{3x+2}{x+a}) = \frac{3(\frac{3x+2}{x+a}) + 2}{\frac{3x+2}{x+a} + a}$

分子と分母に $x+a$ をかけると、

$f(f(x)) = \frac{3(3x+2) + 2(x+a)}{3x+2 + a(x+a)} = \frac{9x+6+2x+2a}{3x+2+ax+a^2} = \frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2}$

$(f \circ f)(x) = x$ より、

$\frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2} = x$

両辺に $(3+a)x+2+a^2$ をかけると、

$11x+6+2a = x((3+a)x+2+a^2)$

$11x+6+2a = (3+a)x^2+(2+a^2)x$

$(3+a)x^2+(2+a^2-11)x - (6+2a) = 0$

$(3+a)x^2+(a^2-9)x - 2(3+a) = 0$

$(3+a)x^2+(a-3)(a+3)x - 2(3+a) = 0$

これが任意の $x$ について成り立つためには、各項の係数が0でなければなりません。

$3+a=0$ を仮定すると、 $a = -3$ となります。このとき、与式は $0x^2+0x+0=0$ となり、常に成立します。

もし $a \ne -3$ なら、

$(3+a)x^2+(a-3)(a+3)x - 2(3+a) = 0$

ここで $(3+a)$ で割ると

$x^2 + (a-3)x - 2 = 0$

これは $x$ についての二次方程式となり、$x$ の値が特定の値でなければならないので、 $(f \circ f)(x) = x$ となることはありません。

したがって、$a=-3$ が必要です。

このとき、$f(x)=\frac{3x+2}{x-3}$ であり、$f(f(x)) = \frac{11x+6+2(-3)}{(3-3)x+2+(-3)^2} = \frac{11x}{11} = x$ となり、$a=-3$ は条件を満たします。

3. 最終的な答え

$a = -3$