関数 $y=ax^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 12$ となる。このとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y=ax^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 12$ となる。このとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線 $y = ax^2$ のグラフは原点に関して対称である。$y$ の変域が $0 \le y \le 12$ となることから、$a > 0$ であることがわかる。

$x$ の変域 $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ において、$y$ の最大値は $12$ である。$a>0$ なので、$x$ の絶対値が大きいほど $y$ の値も大きくなる。

したがって、$x = -2$ のとき $y = 12$ となる。

$y = ax^2$ に $x = -2$、$y = 12$ を代入すると、

$12 = a(-2)^2$

$12 = 4a$

$a = 3$

3. 最終的な答え

$a = 3$