与えられた式を計算します。式は、$\frac{a(r^{30}-1)}{r-1} \div \frac{a(r^{10}-1)}{r-1}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を計算します。式は、$\frac{a(r^{30}-1)}{r-1} \div \frac{a(r^{10}-1)}{r-1}$ です。

2. 解き方の手順

除算を乗算に変換するため、2番目の分数の逆数を取ります。

$\frac{a(r^{30}-1)}{r-1} \div \frac{a(r^{10}-1)}{r-1} = \frac{a(r^{30}-1)}{r-1} \times \frac{r-1}{a(r^{10}-1)}$

$a$ と $r-1$ は分子と分母の両方にあるので、それらをキャンセルできます。

$\frac{a(r^{30}-1)}{r-1} \times \frac{r-1}{a(r^{10}-1)} = \frac{r^{30}-1}{r^{10}-1}$

$r^{30}-1$ を因数分解します。$r^{30} - 1 = (r^{10})^3 - 1$ と考えることができます。$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$ という公式を使用します。ここで $A = r^{10}$ と $B = 1$ です。したがって、

$r^{30} - 1 = (r^{10} - 1)((r^{10})^2 + r^{10} + 1) = (r^{10} - 1)(r^{20} + r^{10} + 1)$

これにより、式は次のようになります。

$\frac{r^{30}-1}{r^{10}-1} = \frac{(r^{10}-1)(r^{20}+r^{10}+1)}{r^{10}-1}$

$r^{10} - 1$ をキャンセルします。

$\frac{(r^{10}-1)(r^{20}+r^{10}+1)}{r^{10}-1} = r^{20} + r^{10} + 1$

3. 最終的な答え

$r^{20} + r^{10} + 1$