実数 $x$ に対して、無限級数 $$ x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^3} + \cdots + \frac{x}{(1+x-x^2)^{n-1}} + \cdots $$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの無限級数の和を求める。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、無限級数

$$x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^3} + \cdots + \frac{x}{(1+x-x^2)^{n-1}} + \cdots$$

が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの無限級数の和を求める。

2. 解き方の手順

この無限級数は、初項 $x$、公比 $\frac{1}{1+x-x^2}$ の等比級数である。等比級数が収束するための条件は、公比の絶対値が1より小さいことである。したがって、

$$\left| \frac{1}{1+x-x^2} \right| < 1$$

が成立する必要がある。これは、

$$-1 < \frac{1}{1+x-x^2} < 1$$

を意味する。

まず、$1+x-x^2 > 0$ である必要がある。なぜなら、もし $1+x-x^2 < 0$ であれば、$\frac{1}{1+x-x^2} < 0$ となり、$\frac{1}{1+x-x^2} > -1$ は常に成り立つ。したがって、$\frac{1}{1+x-x^2} < 1$ を満たさなければならない。もし、$1+x-x^2>0$ であると仮定すると、

$$\frac{1}{1+x-x^2} < 1$$

より、

$$1 < 1+x-x^2$$

$$x-x^2 > 0$$

$$x(1-x) > 0$$

$$0 < x < 1$$

次に、$1+x-x^2 > 0$ を満たすか確認する。

$1+x-x^2 = -x^2 + x + 1 = -(x^2 -x -1) = -(x-\frac{1+\sqrt{5}}{2})(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2})>0$.

したがって、$\frac{1-\sqrt{5}}{2} < x < \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

$0<x<1$ と $\frac{1-\sqrt{5}}{2} < x < \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ の共通範囲は、$0 < x < 1$。

等比級数が収束するときの和は、

$$\frac{\text{初項}}{1-\text{公比}} = \frac{x}{1 - \frac{1}{1+x-x^2}} = \frac{x}{\frac{1+x-x^2-1}{1+x-x^2}} = \frac{x(1+x-x^2)}{x-x^2} = \frac{x(1+x-x^2)}{x(1-x)} = \frac{1+x-x^2}{1-x}$$

（ただし、$x \neq 0$ かつ $x \neq 1$）

もし $x=0$ であれば、級数の各項は全て0であるから、和は0である。上記の式に $x=0$ を代入すると $\frac{1}{1}=1$ となり、矛盾する。したがって$0<x<1$

$$\frac{1+x-x^2}{1-x} = \frac{1+x-x^2}{1-x}$$

$x = 0$のとき級数の和は

0. $0<x<1$のとき、級数の和は$\frac{1+x-x^2}{1-x}$。

3. 最終的な答え

$0 < x < 1$ のとき、無限級数は収束し、その和は $\frac{1+x-x^2}{1-x}$ である。

$x=0$のとき、無限級数は収束し、その和は0である。