関数 $f(x)$ が与えられており、$f(x)$ が実数全体で定義された連続関数になるように、$a$ の値を求めよ。 関数 $f(x)$ は以下のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} x & (x \geq 0) \\ -2x + a & (x < 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられており、$f(x)$ が実数全体で定義された連続関数になるように、$a$ の値を求めよ。

関数 $f(x)$ は以下のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases} x & (x \geq 0) \\ -2x + a & (x < 0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が実数全体で連続であるためには、$x=0$ において連続であることが必要です。つまり、

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$

である必要があります。

$x \to 0^+$ のとき、$x \geq 0$ なので、$f(x) = x$ を用います。よって、

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$

$x \to 0^-$ のとき、$x < 0$ なので、$f(x) = -2x + a$ を用います。よって、

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-2x + a) = -2(0) + a = a$

また、$x = 0$ のとき、$f(0) = 0$ です。

したがって、$x=0$ で連続となるためには、

$0 = a = 0$

である必要があります。

3. 最終的な答え

$a = 0$