関数 $f(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{\tan^{n+1}x}{1 + \tan^n x}$ （ただし、$0 < x < \frac{\pi}{2}$）の連続性を調べよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{\tan^{n+1}x}{1 + \tan^n x}$ （ただし、$0 < x < \frac{\pi}{2}$）の連続性を調べよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の具体的な形を求める。$\tan x$ の値によって場合分けする。

- $0 < \tan x < 1$ のとき (すなわち $0 < x < \frac{\pi}{4}$ のとき): $\lim_{n\to\infty} \tan^n x = 0$ なので、

$$f(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x} = \frac{0}{1 + 0} = 0$$

- $\tan x = 1$ のとき (すなわち $x = \frac{\pi}{4}$ のとき):

$$f(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{1^{n+1}}{1 + 1^n} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$

- $\tan x > 1$ のとき (すなわち $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ のとき):

$$f(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x} = \lim_{n\to\infty} \frac{\tan x}{\frac{1}{\tan^n x} + 1} = \frac{\tan x}{0 + 1} = \tan x$$

したがって、$f(x)$ は次のように表される。

$$$$

f(x) = \begin{cases}

0 & (0 < x < \frac{\pi}{4}) \\

\frac{1}{2} & (x = \frac{\pi}{4}) \\

\tan x & (\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2})

\end{cases}

$$$$

次に、$x = \frac{\pi}{4}$ における連続性を調べる。

$\lim_{x\to \frac{\pi}{4} - 0} f(x) = 0$, $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$, $\lim_{x\to \frac{\pi}{4} + 0} f(x) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$.

$\lim_{x\to \frac{\pi}{4} - 0} f(x) \neq f(\frac{\pi}{4}) \neq \lim_{x\to \frac{\pi}{4} + 0} f(x)$

したがって、$f(x)$ は $x = \frac{\pi}{4}$ で不連続である。

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ では $f(x) = 0$ であり、これは連続である。

$\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ では $f(x) = \tan x$ であり、これも連続である。

3. 最終的な答え

$f(x)$ は $x = \frac{\pi}{4}$ で不連続であり、$0 < x < \frac{\pi}{4}$ および $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ では連続である。