関数 $f(x) = e^x$ について、導関数の定義に従って $f'(x) = e^x$ を証明する問題です。 画像の空欄を埋める形式で解答します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^x$ について、導関数の定義に従って $f'(x) = e^x$ を証明する問題です。 画像の空欄を埋める形式で解答します。

2. 解き方の手順

導関数の定義式から始めます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f(x) = e^x$ を代入すると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}$

指数法則 $e^{x+h} = e^x e^h$ を用いると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h}$

$e^x$ で括ると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h}$

$e^x$ は $h$ に依存しないので、極限の外に出せます。

$f'(x) = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ であることを利用すると、

$f'(x) = e^x \cdot 1 = e^x$

したがって、$f'(x) = e^x$ であることが証明できました。

3. 最終的な答え

ア：$e^{x+h}$

イ：$e^x e^h$

ウ：$e^h-1$

エ：1

オ：$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$