関数 $y = (x+1)(x+2)(x+4)$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x+1)(x+2)(x+4)$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式を用いる方法と、展開してから微分する方法の2通りで解きます。

**方法1：積の微分公式**

関数 $y = u(x)v(x)w(x)$ の微分は、

$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}$

で求められます。

この問題では、$u = x+1$, $v = x+2$, $w = x+4$ とすると、

$\frac{du}{dx} = 1$, $\frac{dv}{dx} = 1$, $\frac{dw}{dx} = 1$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot (x+2)(x+4) + (x+1) \cdot 1 \cdot (x+4) + (x+1)(x+2) \cdot 1$

$= (x^2 + 6x + 8) + (x^2 + 5x + 4) + (x^2 + 3x + 2)$

$= 3x^2 + 14x + 14$

**方法2：展開してから微分**

まず、$y = (x+1)(x+2)(x+4)$ を展開します。

$y = (x+1)(x^2+6x+8) = x^3 + 6x^2 + 8x + x^2 + 6x + 8 = x^3 + 7x^2 + 14x + 8$

次に、各項を微分します。

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 14x + 14$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 14x + 14$