問題は、集合$U$を全体集合とし、$A$と$B$をその部分集合としたとき、以下の2つの問題に答えるものです。 (1) $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$、$A = \{0, 2, 5\}$、$B = \{2, 3, 5\}$のとき、$A \cap B$、$A \cup B$、$\overline{A} \cap B$を求める。 (2) $U = \{x | x \text{は10以下の自然数}\}$、$A \cap B = \{2, 6\}$、$\overline{A} \cap B = \{1, 3, 8\}$、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 7\}$のとき、$A$と$B$を求める。

1. 問題の内容

問題は、集合$U$を全体集合とし、$A$と$B$をその部分集合としたとき、以下の2つの問題に答えるものです。

(1) $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$、$A = \{0, 2, 5\}$、$B = \{2, 3, 5\}$のとき、$A \cap B$、$A \cup B$、$\overline{A} \cap B$を求める。

(2) $U = \{x | x \text{は10以下の自然数}\}$、$A \cap B = \{2, 6\}$、$\overline{A} \cap B = \{1, 3, 8\}$、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 7\}$のとき、$A$と$B$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* $A \cap B$は、$A$と$B$の両方に含まれる要素の集合です。$A = \{0, 2, 5\}$、$B = \{2, 3, 5\}$なので、$A \cap B = \{2, 5\}$です。

* $A \cup B$は、$A$または$B$に含まれる要素の集合です。$A = \{0, 2, 5\}$、$B = \{2, 3, 5\}$なので、$A \cup B = \{0, 2, 3, 5\}$です。

* $\overline{A}$は、$U$の中で$A$に含まれない要素の集合です。$U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$、$A = \{0, 2, 5\}$なので、$\overline{A} = \{1, 3, 4\}$です。$\overline{A} \cap B$は、$\overline{A}$と$B$の両方に含まれる要素の集合です。$\overline{A} = \{1, 3, 4\}$、$B = \{2, 3, 5\}$なので、$\overline{A} \cap B = \{3\}$です。

(2)

* $U = \{x | x \text{は10以下の自然数}\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$です。

* $A \cap B = \{2, 6\}$、$\overline{A} \cap B = \{1, 3, 8\}$より、$B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B) = \{2, 6\} \cup \{1, 3, 8\} = \{1, 2, 3, 6, 8\}$です。

* $\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 7\}$より、$U$から$A \cup B$に含まれる要素を取り除いたものが$\{4,7\}$になります。つまり、$U - (A \cup B) = \{4, 7\}$。

* $A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$となることを利用して，$A$を求めます。 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、$B = \{1, 2, 3, 6, 8\}$、$\overline{B} = U - B = \{4, 5, 7, 9, 10\}$。よって$A \cap \overline{B}= A \cap \{4, 5, 7, 9, 10\}$。$U - (A \cup B) = \{4, 7\}$より、$A \cup B = U - \{4, 7\} = \{1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10\}$。

* $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10\}$、$B = \{1, 2, 3, 6, 8\}$より、$A$には$B$に含まれない要素$\{5, 9, 10\}$が含まれる可能性があります。また、$A \cap B = \{2, 6\}$である必要があります。したがって、$A = \{2, 5, 6, 9, 10\}$となります。

* $A=\{2,6,5,9,10\}$であるとき、$A \cap B = \{2,6,5,9,10\}\cap \{1,2,3,6,8\}=\{2,6\}$を満たし、$\overline{A}\cap \overline{B}=\{1,3,4,7,8\} \cap \{4,5,7,9,10\} = \{4,7\}$を満たします。また、$\overline{A}\cap B = \{1,3,4,7,8\} \cap \{1,2,3,6,8\} = \{1,3,8\}$を満たします。

3. 最終的な答え

(1)

$A \cap B = \{2, 5\}$

$A \cup B = \{0, 2, 3, 5\}$

$\overline{A} \cap B = \{3\}$

(2)

$A = \{2, 5, 6, 9, 10\}$

$B = \{1, 2, 3, 6, 8\}$