(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x}$

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\sinh x$ の定義は $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ です。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x}$

ここで、$\frac{e^x - e^{-x}}{2x}$ に対してロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$

(別解) $\sinh x$のマクローリン展開は、$\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$である。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots}{x} = \lim_{x \to 0} 1 + \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} + \cdots = 1$

(2) $\tanh x$ の定義は $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ です。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x(e^x + e^{-x})}$

ここで、$\frac{e^x - e^{-x}}{x(e^x + e^{-x})}$ に対してロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{(e^x + e^{-x}) + x(e^x - e^{-x})} = \frac{1 + 1}{(1 + 1) + 0} = \frac{2}{2} = 1$

(別解) $\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} \cdot \frac{1}{\cosh x}$

$\lim_{x \to 0} \cosh x = \cosh 0 = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x} = 1$