台形 OACB があり、OA = 4, OB = 3, BC = 2, cos∠AOB = 1/4, OA // BC である。 $\vec{a} = \overrightarrow{OA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$ とする。 (1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。また、$\overrightarrow{OC}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。 (2) 辺 AC 上に点 D を $\overrightarrow{AD} = k \overrightarrow{AC}$ (0 ≤ k ≤ 1) となるようにとる。$\overrightarrow{OD} \perp \overrightarrow{AC}$ となるとき、k の値を求めよ。 (3) (2)のとき、O を中心とし D を通る円と半直線 OA, OB との交点をそれぞれ P, Q とし、直線 PQ と直線 OD の交点を E とする。このとき、$\overrightarrow{OE}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

台形 OACB があり、OA = 4, OB = 3, BC = 2, cos∠AOB = 1/4, OA // BC である。

$\vec{a} = \overrightarrow{OA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$ とする。

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。また、$\overrightarrow{OC}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。

(2) 辺 AC 上に点 D を $\overrightarrow{AD} = k \overrightarrow{AC}$ (0 ≤ k ≤ 1) となるようにとる。$\overrightarrow{OD} \perp \overrightarrow{AC}$ となるとき、k の値を求めよ。

(3) (2)のとき、O を中心とし D を通る円と半直線 OA, OB との交点をそれぞれ P, Q とし、直線 PQ と直線 OD の交点を E とする。このとき、$\overrightarrow{OE}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\angle AOB} = 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{4} = 3$

$\overrightarrow{OC}$ について。

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}$ であり、$OA // BC$ より $\overrightarrow{BC} = t\overrightarrow{OA}$ (tは実数) とおける。

$|\overrightarrow{BC}| = 2, |\overrightarrow{OA}| = 4$ より、$t = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

よって、$\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$

$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}$

(2)

$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OA} + k \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}) - \vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}$

$\overrightarrow{OD} = \vec{a} + k(-\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}) = (1 - \frac{1}{2}k)\vec{a} + k\vec{b}$

$\overrightarrow{OD} \perp \overrightarrow{AC}$ より $\overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$

$((1 - \frac{1}{2}k)\vec{a} + k\vec{b}) \cdot (-\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}) = 0$

$-\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}k)|\vec{a}|^2 + (1-\frac{1}{2}k)(\vec{a}\cdot\vec{b}) - \frac{1}{2}k(\vec{a}\cdot\vec{b}) + k|\vec{b}|^2 = 0$

$-\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}k)16 + (1-\frac{1}{2}k)3 - \frac{1}{2}k3 + k9 = 0$

$-8(1-\frac{1}{2}k) + 3(1-k) + 9k = 0$

$-8 + 4k + 3 - 3k + 9k = 0$

$10k - 5 = 0$

$10k = 5$

$k = \frac{1}{2}$

(3)

点DはOを中心とする円上にあるので、$|\overrightarrow{OD}|$ は円の半径である。

$\overrightarrow{OD} = (1 - \frac{1}{2}k)\vec{a} + k\vec{b} = (1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2})\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

$|\overrightarrow{OD}|^2 = (\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) \cdot (\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{9}{16}|\vec{a}|^2 + \frac{3}{4}(\vec{a}\cdot\vec{b}) + \frac{1}{4}|\vec{b}|^2 = \frac{9}{16}(16) + \frac{3}{4}(3) + \frac{1}{4}(9) = 9 + \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = 9 + \frac{18}{4} = 9 + \frac{9}{2} = \frac{27}{2}$

$|\overrightarrow{OD}| = \sqrt{\frac{27}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$

点Pは半直線OA上にあるので、$\overrightarrow{OP} = s \overrightarrow{OA} = s \vec{a}$ (sは実数)とおける。

点Qは半直線OB上にあるので、$\overrightarrow{OQ} = t \overrightarrow{OB} = t \vec{b}$ (tは実数)とおける。

また点P、QはOを中心とするDを通る円上にあるので $|\overrightarrow{OP}| = |\overrightarrow{OQ}| = |\overrightarrow{OD}|$ が成り立つ。

$|\overrightarrow{OP}| = |s \vec{a}| = |s| |\vec{a}| = 4|s| = \frac{3\sqrt{6}}{2}$

$|s| = \frac{3\sqrt{6}}{8}$

$|\overrightarrow{OQ}| = |t \vec{b}| = |t| |\vec{b}| = 3|t| = \frac{3\sqrt{6}}{2}$

$|t| = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$s, t > 0$ より、$s = \frac{3\sqrt{6}}{8}, t = \frac{\sqrt{6}}{2}$

直線 PQ の方程式は $\overrightarrow{OE} = (1-u)\overrightarrow{OP} + u\overrightarrow{OQ} = (1-u)s\vec{a} + ut\vec{b}$ (uは実数)と表せる。

また、直線 OD 上の点でもあるので、$\overrightarrow{OE} = v \overrightarrow{OD} = v(\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b})$ (vは実数)と表せる。

よって、$(1-u)s = v \cdot \frac{3}{4}$ かつ $ut = v \cdot \frac{1}{2}$

$(1-u) \frac{3\sqrt{6}}{8} = v \cdot \frac{3}{4}$

$u \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = v \cdot \frac{1}{2}$

$\frac{1-u}{2} \sqrt{6} = v$

$u \sqrt{6} = v$

$\frac{1-u}{2}\sqrt{6} = u\sqrt{6}$

$\frac{1-u}{2} = u$

$1 - u = 2u$

$1 = 3u$

$u = \frac{1}{3}$

$v = \frac{1}{3}\sqrt{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

よって、$\overrightarrow{OE} = \frac{\sqrt{6}}{3} (\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{\sqrt{6}}{4}\vec{a} + \frac{\sqrt{6}}{6}\vec{b}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$, $\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}$

(2) $k = \frac{1}{2}$

(3) $\overrightarrow{OE} = \frac{\sqrt{6}}{4}\vec{a} + \frac{\sqrt{6}}{6}\vec{b}$