問題5:$(\frac{1}{2})^n < \frac{1}{10^4}$ を満たす最小の自然数 $n$ を求める。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$ とする。 問題6:$(\frac{1}{5})^{10}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$とする。

代数学対数指数不等式常用対数
2025/7/30

1. 問題の内容

問題5:(12)n<1104(\frac{1}{2})^n < \frac{1}{10^4} を満たす最小の自然数 nn を求める。ただし、log102=0.3010log_{10}2 = 0.3010 とする。
問題6:(15)10(\frac{1}{5})^{10}を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。ただし、log102=0.3010log_{10}2 = 0.3010とする。

2. 解き方の手順

問題5:
まず、与えられた不等式 (12)n<1104(\frac{1}{2})^n < \frac{1}{10^4} を変形する。両辺の逆数をとると、
2n>1042^n > 10^4
両辺の常用対数をとると、
log102n>log10104log_{10}2^n > log_{10}10^4
nlog102>4n log_{10}2 > 4
n>4log102n > \frac{4}{log_{10}2}
log102=0.3010log_{10}2 = 0.3010 を代入すると、
n>40.3010=400030113.289n > \frac{4}{0.3010} = \frac{4000}{301} \approx 13.289
したがって、不等式を満たす最小の自然数 nn は14である。
問題6:
(15)10(\frac{1}{5})^{10} を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。
(15)10=(210)10=2101010(\frac{1}{5})^{10} = (\frac{2}{10})^{10} = \frac{2^{10}}{10^{10}}
この数の常用対数をとると、
log10(2101010)=log10210log101010=10log10210log_{10} (\frac{2^{10}}{10^{10}}) = log_{10} 2^{10} - log_{10} 10^{10} = 10 log_{10} 2 - 10
log102=0.3010log_{10} 2 = 0.3010 を代入すると、
10(0.3010)10=3.01010=6.9910(0.3010) - 10 = 3.010 - 10 = -6.99
したがって、log10(15)10=6.99log_{10} (\frac{1}{5})^{10} = -6.99
これは、107<(15)10<10610^{-7} < (\frac{1}{5})^{10} < 10^{-6} を意味する。
(15)10=106.99(\frac{1}{5})^{10} = 10^{-6.99}であるから、小数第7位に初めて0でない数字が現れる。

3. 最終的な答え

問題5:14
問題6:7

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