(1)(i) $a, b$ を実数とする。2次不等式 $x^2 + ax + b > 0$ の解がすべての実数となるための必要十分条件を求める問題。方針1は2次関数 $y = x^2 + ax + b$ の最小値に着目し、方針2は2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ に解の公式を適用したときの根号の中身に着目する。 (1)(ii) $c$ を実数とする。2次不等式 $-x^2 + cx - 4 < 0$ の解がすべての実数となるための必要十分条件を求める問題。 (2)(i) $x = 1$ と $x = 1/2$ がそれぞれ2次不等式 $2024x^2 + 2023x - 2022 > 0$ を満たすかどうかを判定する問題。 (2)(ii) $x = -2, -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2$ のうち、2次不等式 $2024x^2 + 2023x - 2022 > 0$ を満たすものの個数を求める問題。

1. 問題の内容

(1)(i) $a, b$ を実数とする。2次不等式 $x^2 + ax + b > 0$ の解がすべての実数となるための必要十分条件を求める問題。方針1は2次関数 $y = x^2 + ax + b$ の最小値に着目し、方針2は2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ に解の公式を適用したときの根号の中身に着目する。

(1)(ii) $c$ を実数とする。2次不等式 $-x^2 + cx - 4 < 0$ の解がすべての実数となるための必要十分条件を求める問題。

(2)(i) $x = 1$ と $x = 1/2$ がそれぞれ2次不等式 $2024x^2 + 2023x - 2022 > 0$ を満たすかどうかを判定する問題。

(2)(ii) $x = -2, -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2$ のうち、2次不等式 $2024x^2 + 2023x - 2022 > 0$ を満たすものの個数を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)(i)

方針1：

$y = x^2 + ax + b = (x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} + b$ より、最小値は $-\frac{a^2}{4} + b$。

$x^2 + ax + b > 0$ がすべての実数で成り立つための必要十分条件は、最小値が正であること。

よって、$-\frac{a^2}{4} + b > 0$。

したがって、アイ = $-1$, ウ = 4, オ = 0

方針2：

解の公式より $x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$。

$x^2 + ax + b > 0$ がすべての実数で成り立つための必要十分条件は、判別式が負であること。

$D = a^2 - 4b < 0$。

よって、$a^2 - 4b < 0$。したがって、カ = 1, キ = 4, ク = 0。

オとクの解答群から、$< 0$ は①となる。

(1)(ii)

$-x^2 + cx - 4 < 0$ より $x^2 - cx + 4 > 0$。

この不等式の解がすべての実数となるための必要十分条件は、判別式が負であること。

$D = c^2 - 4(1)(4) = c^2 - 16 < 0$。

よって、$c^2 < 16$ より $-4 < c < 4$。

したがって、ケコ = -4, サ = 4。

(2)(i)

$x = 1$ を $2024x^2 + 2023x - 2022 > 0$ に代入すると、$2024 + 2023 - 2022 = 2025 > 0$ となり、不等式を満たす。したがって、シ = 0。

$x = 1/2$ を $2024x^2 + 2023x - 2022 > 0$ に代入すると、$2024(1/4) + 2023(1/2) - 2022 = 506 + 1011.5 - 2022 = -504.5 < 0$ となり、不等式を満たさない。したがって、ス = 1。

(2)(ii)

$f(x) = 2024x^2 + 2023x - 2022$ とする。

$f(-2) = 2024(4) + 2023(-2) - 2022 = 8096 - 4046 - 2022 = 2028 > 0$

$f(-3/2) = 2024(9/4) + 2023(-3/2) - 2022 = 4554 - 3034.5 - 2022 = -502.5 < 0$

$f(-1) = 2024 - 2023 - 2022 = -2021 < 0$

$f(-1/2) = 2024(1/4) + 2023(-1/2) - 2022 = 506 - 1011.5 - 2022 = -2527.5 < 0$

$f(0) = -2022 < 0$

$f(1/2) = 2024(1/4) + 2023(1/2) - 2022 = 506 + 1011.5 - 2022 = -504.5 < 0$

$f(1) = 2024 + 2023 - 2022 = 2025 > 0$

$f(3/2) = 2024(9/4) + 2023(3/2) - 2022 = 4554 + 3034.5 - 2022 = 5566.5 > 0$

したがって、$x=-2, 1, 3/2$ が不等式を満たすので、3個である。

3. 最終的な答え

(1)(i)

アイ：-1, ウ：4, オ：0

カ：1, キ：4, ク：0

オ, クの解答群：②

(1)(ii)

ケコ：-4, サ：4

(2)(i)

シ：0

ス：1

(2)(ii)

七：3