$p$ を実数とし、$f(x)=(x-2)(x-8)+p$ とする。 (1) 2次関数 $y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。 (2) 2次関数 $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸との位置関係について、$p$ の値によって場合分けをする。 (3) 2次関数 $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $5$ だけ平行移動した放物線をグラフとする2次関数を $y=g(x)$ としたとき、$g(x)$ を求める。 関数 $y=|f(x)-g(x)|$ のグラフを考えることにより、最小値を与える $x$ の値を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

$p$ を実数とし、$f(x)=(x-2)(x-8)+p$ とする。

(1) 2次関数 $y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。

(2) 2次関数 $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸との位置関係について、$p$ の値によって場合分けをする。

(3) 2次関数 $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $5$ だけ平行移動した放物線をグラフとする2次関数を $y=g(x)$ としたとき、$g(x)$ を求める。

関数 $y=|f(x)-g(x)|$ のグラフを考えることにより、最小値を与える $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = (x-2)(x-8) + p = x^2 - 10x + 16 + p = (x-5)^2 - 25 + 16 + p = (x-5)^2 - 9 + p$

よって、頂点の座標は $(5, -9+p)$

(2) $f(x)$ のグラフと $x$ 軸との位置関係を考える。

$f(x) = 0$ となる $x$ の実数解の個数は、判別式 $D$ によって決まる。

$D = (-10)^2 - 4(16+p) = 100 - 64 - 4p = 36 - 4p$

$D > 0$ のとき、異なる2点で交わる。$36 - 4p > 0 \implies p < 9$

$D = 0$ のとき、接する。$36 - 4p = 0 \implies p = 9$

$D < 0$ のとき、共有点をもたない。$36 - 4p < 0 \implies p > 9$

$p > 9$ のとき、共有点をもたない。

$p = 9$ のとき、接点の $x$ 座標は $x=5$ なので、点 $(5,0)$ で接する。

$p < 9$ のとき、異なる2点で交わる。

(3) $y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $5$ だけ平行移動すると、

$y - 5 = f(x+3) = (x+3-2)(x+3-8)+p = (x+1)(x-5)+p = x^2 - 4x - 5 + p$

$y = x^2 - 4x - 5 + p + 5 = x^2 - 4x + p$

よって $g(x) = x^2 - 4x + p$

$f(x) - g(x) = (x^2 - 10x + 16 + p) - (x^2 - 4x + p) = -6x + 16$

$|f(x) - g(x)| = |-6x + 16| = |6x - 16|$

$|6x - 16|$ が最小となるのは、$6x - 16 = 0$ のときである。

$x = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

ア：5

イウ：-9

エ：9

オ：5

カ：4

キ：8

ク：3