整式 $x^n - x^2 + n$ を $(x-1)^2$ で割ったときの余りを求めよ。ただし、$n$ は自然数とする。

1. 問題の内容

整式 $x^n - x^2 + n$ を $(x-1)^2$ で割ったときの余りを求めよ。ただし、$n$ は自然数とする。

2. 解き方の手順

$(x-1)^2$ で割ったときの余りは、一般的に $ax+b$ の形で表されます。

したがって、$x^n - x^2 + n = (x-1)^2 Q(x) + ax + b$ と表せます ($Q(x)$ は商)。

まず、$x = 1$ を代入します。

$1^n - 1^2 + n = (1-1)^2 Q(1) + a(1) + b$

$1 - 1 + n = 0 + a + b$

$n = a + b$

$b = n - a$ ...(1)

次に、$x^n - x^2 + n = (x-1)^2 Q(x) + ax + n - a$ を変形します。

$x^n - x^2 + n - (ax + n - a) = (x-1)^2 Q(x)$

$x^n - x^2 - ax + a = (x-1)^2 Q(x)$

$x^n - x^2 - ax + a$ は $x=1$ を代入すると 0 になるので、因数 $(x-1)$ を持つはずです。

$x^n-x^2-ax+a = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + ... + x + 1 -x -a)$

$x^n - x^2 - ax + a = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + ... + x^2 + x + 1 -x-a) =(x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + ... + x^2 + 1 - a)$

$= (x-1)( \sum_{k=0}^{n-1} x^k -x-a + x)= (x-1)(\sum_{k=0}^{n-1} x^k -x^2/x-a ) = (x-1)(x^{n-1} + ... +x+1 -x - a)$

$x^n - x^2 - ax + a$ が $(x-1)^2$ で割り切れるので、$x^{n-1} + x^{n-2} + ... + x + 1 - x - a$ も $x=1$ を代入すると0になる必要があります。

$\sum_{k=0}^{n-1} 1 - 1 - a = n - 1 - a = 0$

$a = n - 1$ ...(2)

(1) に (2) を代入すると、

$b = n - (n-1) = 1$

したがって、余りは $(n-1)x + 1$ となります。

3. 最終的な答え

余りは $(n-1)x + 1$