与えられた複素数を極形式で表す問題です。偏角 $\theta$ の範囲は $0 \leq \theta < 2\pi$ とします。複素数は以下の4つです。 (1) $-1 + i$ (2) $-\sqrt{3} - i$ (3) $2 + 2\sqrt{3}i$ (4) $4i$

1. 問題の内容

与えられた複素数を極形式で表す問題です。偏角 $\theta$ の範囲は $0 \leq \theta < 2\pi$ とします。複素数は以下の4つです。

(1) $-1 + i$

(2) $-\sqrt{3} - i$

(3) $2 + 2\sqrt{3}i$

(4) $4i$

2. 解き方の手順

複素数 $z = a + bi$ を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表すには、まず絶対値 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ を計算します。

次に、偏角 $\theta$ を求めます。$\cos\theta = \frac{a}{r}$ および $\sin\theta = \frac{b}{r}$ を満たす $\theta$ を $0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で求めます。

(1) $z = -1 + i$ の場合：

$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

$\cos\theta = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta = \frac{3\pi}{4}$

よって、 $-1 + i = \sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4})$

(2) $z = -\sqrt{3} - i$ の場合：

$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$\cos\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\sin\theta = \frac{-1}{2}$

$\theta = \frac{7\pi}{6}$

よって、 $-\sqrt{3} - i = 2(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6})$

(3) $z = 2 + 2\sqrt{3}i$ の場合：

$r = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$

$\cos\theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\sin\theta = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$

よって、 $2 + 2\sqrt{3}i = 4(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$

(4) $z = 4i$ の場合：

$r = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$

$\cos\theta = \frac{0}{4} = 0$

$\sin\theta = \frac{4}{4} = 1$

$\theta = \frac{\pi}{2}$

よって、 $4i = 4(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $-1 + i = \sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4})$

(2) $-\sqrt{3} - i = 2(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6})$

(3) $2 + 2\sqrt{3}i = 4(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$

(4) $4i = 4(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$