与えられた3つの二変数関数について、極値を求める問題です。 (1) $h(x,y) = 3x^2 - 5xy + 3y^2 - x - y$ (2) $h(x,y) = -x^2 + xy - y^2 + 4x - 2y$ (3) $h(x,y) = xy + x^{-1} + 8y^{-1}$

1. 問題の内容

与えられた3つの二変数関数について、極値を求める問題です。

(1) $h(x,y) = 3x^2 - 5xy + 3y^2 - x - y$

(2) $h(x,y) = -x^2 + xy - y^2 + 4x - 2y$

(3) $h(x,y) = xy + x^{-1} + 8y^{-1}$

2. 解き方の手順

極値を求めるためには、まず偏微分を計算し、それらを0とおいた連立方程式を解いて停留点を求めます。次に、ヘッセ行列を計算し、停留点におけるヘッセ行列の正定値性、負定値性、不定性を調べることで、極大値、極小値、鞍点などを判別します。

(1) $h(x,y) = 3x^2 - 5xy + 3y^2 - x - y$

* 偏微分を計算する。

$h_x = 6x - 5y - 1$

$h_y = -5x + 6y - 1$

* $h_x = 0$ かつ $h_y = 0$ を解く。

$6x - 5y - 1 = 0$

$-5x + 6y - 1 = 0$

これを解くと $x = 11/11 =1$, $y=1$.

* 二階偏微分を計算する。

$h_{xx} = 6$

$h_{yy} = 6$

$h_{xy} = -5$

* ヘッセ行列式を計算する。

$D = h_{xx}h_{yy} - (h_{xy})^2 = 6 \cdot 6 - (-5)^2 = 36 - 25 = 11 > 0$

$h_{xx} = 6 > 0$であるから、$h(x,y)$ は $(1, 1)$ で極小値をとる。

$h(1, 1) = 3 - 5 + 3 - 1 - 1 = -1$

(2) $h(x,y) = -x^2 + xy - y^2 + 4x - 2y$

* 偏微分を計算する。

$h_x = -2x + y + 4$

$h_y = x - 2y - 2$

* $h_x = 0$ かつ $h_y = 0$ を解く。

$-2x + y + 4 = 0$

$x - 2y - 2 = 0$

これを解くと $x = 2$, $y = 0$.

* 二階偏微分を計算する。

$h_{xx} = -2$

$h_{yy} = -2$

$h_{xy} = 1$

* ヘッセ行列式を計算する。

$D = h_{xx}h_{yy} - (h_{xy})^2 = (-2) \cdot (-2) - (1)^2 = 4 - 1 = 3 > 0$

$h_{xx} = -2 < 0$であるから、$h(x,y)$ は $(2, 0)$ で極大値をとる。

$h(2, 0) = -4 + 8 = 4$

(3) $h(x,y) = xy + x^{-1} + 8y^{-1} = xy + \frac{1}{x} + \frac{8}{y}$

* 偏微分を計算する。

$h_x = y - x^{-2} = y - \frac{1}{x^2}$

$h_y = x - 8y^{-2} = x - \frac{8}{y^2}$

* $h_x = 0$ かつ $h_y = 0$ を解く。

$y = \frac{1}{x^2}$

$x = \frac{8}{y^2}$

$x = \frac{8}{(1/x^2)^2} = 8x^4$

$1 = 8x^3$

$x^3 = \frac{1}{8}$

$x = \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{(1/2)^2} = 4$

* 二階偏微分を計算する。

$h_{xx} = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$

$h_{yy} = 16y^{-3} = \frac{16}{y^3}$

$h_{xy} = 1$

* ヘッセ行列式を計算する。

$D = h_{xx}h_{yy} - (h_{xy})^2 = \frac{2}{x^3} \cdot \frac{16}{y^3} - 1 = \frac{32}{x^3y^3} - 1$

$(x, y) = (\frac{1}{2}, 4)$ のとき

$D = \frac{32}{(1/8) \cdot 64} - 1 = \frac{32}{8} - 1 = 4 - 1 = 3 > 0$

$h_{xx} = \frac{2}{(1/2)^3} = 2 \cdot 8 = 16 > 0$であるから、$h(x,y)$ は $(\frac{1}{2}, 4)$ で極小値をとる。

$h(\frac{1}{2}, 4) = \frac{1}{2} \cdot 4 + 2 + \frac{8}{4} = 2 + 2 + 2 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $(1, 1)$ で極小値 $-1$

(2) $(2, 0)$ で極大値 $4$

(3) $(\frac{1}{2}, 4)$ で極小値 $6$