与えられた連立一次方程式について、以下の3つの問いに答えます。 1. 拡大係数行列を書き出す。 2. 解が存在するための $y$ の満たすべき必要十分条件を求める。 3. 2.の条件を満たすとき、拡大係数行列を被約階段行列に変形し、解のパラメータ表示を求める。 連立一次方程式は以下の通りです。 $ \begin{cases} 3x_1 - x_2 - x_3 + x_4 - x_5 = 1 \\ -3x_1 + 3x_2 + x_3 + 3x_4 + 2x_5 = 3 \\ -3x_1 - 2x_2 + x_3 - x_4 + x_5 = 2 \\ -3x_1 + 2x_2 + x_3 - x_4 + x_5 = y \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式について、以下の3つの問いに答えます。

1. 拡大係数行列を書き出す。

2. 解が存在するための $y$ の満たすべき必要十分条件を求める。

3. 2.の条件を満たすとき、拡大係数行列を被約階段行列に変形し、解のパラメータ表示を求める。

連立一次方程式は以下の通りです。

$$

\begin{cases}

3x_1 - x_2 - x_3 + x_4 - x_5 = 1 \\

-3x_1 + 3x_2 + x_3 + 3x_4 + 2x_5 = 3 \\

-3x_1 - 2x_2 + x_3 - x_4 + x_5 = 2 \\

-3x_1 + 2x_2 + x_3 - x_4 + x_5 = y

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(1) 拡大係数行列を書き出す。

拡大係数行列は、各方程式の係数と定数項を並べたものです。

$$

\begin{bmatrix}

3 & -1 & -1 & 1 & -1 & | & 1 \\

-3 & 3 & 1 & 3 & 2 & | & 3 \\

-3 & -2 & 1 & -1 & 1 & | & 2 \\

-3 & 2 & 1 & -1 & 1 & | & y

\end{bmatrix}

$$

(2) 解が存在するための $y$ の満たすべき必要十分条件を求める。

拡大係数行列を簡約化して、解が存在するための条件を求めます。

まず、1行目を基準に2,3,4行目を簡約化します。

* 2行目: 2行目 + 1行目

* 3行目: 3行目 + 1行目

* 4行目: 4行目 + 1行目

$$

\begin{bmatrix}

3 & -1 & -1 & 1 & -1 & | & 1 \\

0 & 2 & 0 & 4 & 1 & | & 4 \\

0 & -3 & 0 & 0 & 0 & | & 3 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & y+1

\end{bmatrix}

$$

次に、3行目を1/(-3)倍し、4行目を基準に簡約化します。

* 3行目: (-1/3) * 3行目

$$

\begin{bmatrix}

3 & -1 & -1 & 1 & -1 & | & 1 \\

0 & 2 & 0 & 4 & 1 & | & 4 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & -1 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & y+1

\end{bmatrix}

$$

* 4行目 - 3行目

$$

\begin{bmatrix}

3 & -1 & -1 & 1 & -1 & | & 1 \\

0 & 2 & 0 & 4 & 1 & | & 4 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & y+2

\end{bmatrix}

$$

最後の行が $0 = y+2$ となっているため、解が存在するためには $y+2 = 0$ が必要です。

したがって、 $y = -2$ が必要十分条件です。

(3) 2.の条件を満たすとき、拡大係数行列を被約階段行列に変形し、解のパラメータ表示を求める。

$y = -2$ のとき、拡大係数行列は

$$

\begin{bmatrix}

3 & -1 & -1 & 1 & -1 & | & 1 \\

0 & 2 & 0 & 4 & 1 & | & 4 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

\end{bmatrix}

$$

3行目と2行目を入れ替えて、2行目を(1/2)倍する。

$$

\begin{bmatrix}

3 & -1 & -1 & 1 & -1 & | & 1 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & -1 \\

0 & 2 & 0 & 4 & 1 & | & 4 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

\end{bmatrix}

$$

3行目から2行目の2倍を引く。

$$

\begin{bmatrix}

3 & -1 & -1 & 1 & -1 & | & 1 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & -1 \\

0 & 0 & 0 & 4 & 1 & | & 6 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

\end{bmatrix}

$$

1行目に2行目を足す。

$$

\begin{bmatrix}

3 & 0 & -1 & 1 & -1 & | & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & -1 \\

0 & 0 & 0 & 4 & 1 & | & 6 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

\end{bmatrix}

$$

3行目を(1/4)倍する。

$$

\begin{bmatrix}

3 & 0 & -1 & 1 & -1 & | & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & -1 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 1/4 & | & 3/2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

\end{bmatrix}

$$

1行目から3行目を引く。

$$

\begin{bmatrix}

3 & 0 & -1 & 0 & -5/4 & | & -3/2 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & -1 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 1/4 & | & 3/2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

\end{bmatrix}

$$

1行目を1/3倍する。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1/3 & 0 & -5/12 & | & -1/2 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & -1 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 1/4 & | & 3/2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

\end{bmatrix}

$$

したがって、

$x_1 = \frac{1}{3}x_3 + \frac{5}{12}x_5 - \frac{1}{2}$

$x_2 = -1$

$x_4 = -\frac{1}{4}x_5 + \frac{3}{2}$

パラメータ表示は、 $x_3 = s, x_5 = t$ とおくと、

$$

\begin{cases}

x_1 = \frac{1}{3}s + \frac{5}{12}t - \frac{1}{2} \\

x_2 = -1 \\

x_3 = s \\

x_4 = -\frac{1}{4}t + \frac{3}{2} \\

x_5 = t

\end{cases}

$$

3. 最終的な答え

(1) 拡大係数行列：

$$

\begin{bmatrix}

3 & -1 & -1 & 1 & -1 & | & 1 \\

-3 & 3 & 1 & 3 & 2 & | & 3 \\

-3 & -2 & 1 & -1 & 1 & | & 2 \\

-3 & 2 & 1 & -1 & 1 & | & y

\end{bmatrix}

$$

(2) $y$ の満たすべき必要十分条件： $y = -2$

(3) 解のパラメータ表示：

$$

\begin{cases}

x_1 = \frac{1}{3}s + \frac{5}{12}t - \frac{1}{2} \\

x_2 = -1 \\

x_3 = s \\

x_4 = -\frac{1}{4}t + \frac{3}{2} \\

x_5 = t

\end{cases}

$$

( $s, t$ は任意の実数 )