曲線 $C: y = x^3 - 3x$ と点 $A(a, -2)$ が与えられている。点Aを通り曲線Cに3本の接線が引けるときの $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^3 - 3x$ と点 $A(a, -2)$ が与えられている。点Aを通り曲線Cに3本の接線が引けるときの $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $C$ 上の点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線を求める。

$y = x^3 - 3x$ を微分すると、$y' = 3x^2 - 3$ となる。

したがって、点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線の方程式は

$y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)$

$y = (3t^2 - 3)x - 3t^3 + 3t + t^3 - 3t$

$y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

(2) この接線が点 $A(a, -2)$ を通る条件を求める。

$-2 = (3t^2 - 3)a - 2t^3$

$2t^3 - 3at^2 + 3a - 2 = 0$

$f(t) = 2t^3 - 3at^2 + 3a - 2 = 0$

(3) 3本の接線が引ける条件は、$f(t) = 0$ が異なる3つの実数解を持つことである。

$f'(t) = 6t^2 - 6at = 6t(t - a)$

$f'(t) = 0$ となるのは $t = 0, a$ である。

$f(0) = 3a - 2$

$f(a) = 2a^3 - 3a^3 + 3a - 2 = -a^3 + 3a - 2 = -(a-1)^2(a+2)$

$f(t) = 0$ が異なる3つの実数解を持つための条件は、$a \neq 0$ かつ $f(0)f(a) < 0$ である。

$(3a - 2)(-(a-1)^2(a+2)) < 0$

$(3a - 2)(a-1)^2(a+2) > 0$

$(a-1)^2$ は常に正なので、$a=1$の場合を除く。

$(3a - 2)(a + 2) > 0$ かつ $a \neq 1$

$a < -2$ または $a > \frac{2}{3}$ かつ $a \neq 1$

3. 最終的な答え

$a < -2, \frac{2}{3} < a < 1, 1 < a$

すなわち、$a < -2$ または $\frac{2}{3} < a$ ただし、$a \neq 1$

$a \in (-\infty, -2) \cup (\frac{2}{3}, 1) \cup (1, \infty)$