3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ のグラフが与えられており、そのグラフは $x = -2$ で極小値をとる。このとき、係数 $a, b, c, d$ の符号を判断する必要がある。また、$f(0)$, $f'(0)$, $f(-2)$, $f'(2)$ の正負を判定する必要がある。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ のグラフが与えられており、そのグラフは $x = -2$ で極小値をとる。このとき、係数 $a, b, c, d$ の符号を判断する必要がある。また、$f(0)$, $f'(0)$, $f(-2)$, $f'(2)$ の正負を判定する必要がある。

2. 解き方の手順

まず、$a$ の符号を考える。グラフは、$x$ が大きいとき正の方向に発散するので、$a > 0$ である。

次に、$f(0) = d$ を考える。グラフから、$f(0) < 0$ なので、$d < 0$ である。

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ を計算する。

$f'(x)$ は $x = -2$ で極小値を取るので、$f'(-2) = 0$ となる。

$f'(-2) = 3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 12a - 4b + c = 0$

グラフから、$x < -2$ で $f'(x) < 0$ であり、$x > -2$ で $f'(x) > 0$ であることがわかる。

$f'(0) = c$ である。$f'(x)$ は、$x = -2$ で極値をとるので、$x = -2$ より小さい範囲で負の値をとり、$x = -2$ より大きい範囲で正の値をとる。つまり、$x = 0$ 付近では正の値を取ることがグラフから推測できる。また、$x$ が負の無限大に近づくと、$f'(x)$ は正の無限大に発散するので、$c > 0$ であると推測できる。

$12a - 4b + c = 0$ から $4b = 12a + c$ なので、$b = 3a + \frac{c}{4}$ である。$a > 0$ であり、$c > 0$ であるので、$b > 0$ である。

$f(0) < 0$

$f'(0) = c > 0$

$f(-2)$ は極小値なので、$f(-2) < 0$ である。

$f'(2) = 3a(2)^2 + 2b(2) + c = 12a + 4b + c = 12a + 4(3a + \frac{c}{4}) + c = 24a + 2c > 0$

3. 最終的な答え

a > 0

b > 0

c > 0

d < 0

f(0) < 0

f'(0) > 0

f(-2) < 0

f'(2) > 0