複素数の4乗の和 $(\sqrt{3}+i)^4 + (\sqrt{3}-i)^4$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

複素数の4乗の和 $(\sqrt{3}+i)^4 + (\sqrt{3}-i)^4$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$(\sqrt{3}+i)$ と $(\sqrt{3}-i)$ をそれぞれ極形式で表します。

$\sqrt{3}+i = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくと、

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin\theta = \frac{1}{2}$ より $\theta = \frac{\pi}{6}$

よって $\sqrt{3}+i = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$

同様に、$\sqrt{3}-i = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$

ド・モアブルの定理より、

$(\sqrt{3}+i)^4 = (2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}))^4 = 2^4(\cos\frac{4\pi}{6} + i\sin\frac{4\pi}{6}) = 16(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3})$

$(\sqrt{3}-i)^4 = (2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6})))^4 = 2^4(\cos(-\frac{4\pi}{6}) + i\sin(-\frac{4\pi}{6})) = 16(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}))$

$(\sqrt{3}+i)^4 + (\sqrt{3}-i)^4 = 16(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}) + 16(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}))$

$= 16(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} + \cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}))$

$= 16(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} + \cos\frac{2\pi}{3} - i\sin\frac{2\pi}{3})$

$= 16(2\cos\frac{2\pi}{3}) = 32\cos\frac{2\pi}{3} = 32(-\frac{1}{2}) = -16$

3. 最終的な答え

-16